Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73530 / 78522
↖ ↑ ↗
← S 33.564284°
E 21.956177°		 ← 254.45 m → S 33.564284°
E 21.958923°		 →
↑
254.46 m
↓
↑
254.46 m
↓
S 33.566573°
E 21.956177°		 ← 254.44 m →
64 745 m²		 S 33.566573°
E 21.958923°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73530 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560993194580078 y=0.599079132080078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560993194580078 × 217)
    floor (0.560993194580078 × 131072)
    floor (73530.5)     		tx = 73530
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599079132080078 × 217)
    floor (0.599079132080078 × 131072)
    floor (78522.5)     		ty = 78522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73530 / 78522 ti = "17/73530/78522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73530/78522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73530 ÷ 217
    73530 ÷ 131072     		x = 0.560989379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78522 ÷ 217
    78522 ÷ 131072     		y = 0.599075317382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560989379882812 × 2 - 1) × π
    0.121978759765625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38320758
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599075317382812 × 2 - 1) × π
    -0.198150634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.622508578466049
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38320758} λ = 0.38320758}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622508578466049))-π/2
    2×atan(0.53659665298112)-π/2
    2×0.492494529646538-π/2
    0.984989059293076-1.57079632675     		φ = -0.58580727
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38320758} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.956177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58580727 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.564284°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73530 KachelY 78522 0.38320758 -0.58580727 21.956177 -33.564284
    Oben rechts KachelX + 1 73531 KachelY 78522 0.38325551 -0.58580727 21.958923 -33.564284
    Unten links KachelX 73530 KachelY + 1 78523 0.38320758 -0.58584721 21.956177 -33.566573
    Unten rechts KachelX + 1 73531 KachelY + 1 78523 0.38325551 -0.58584721 21.958923 -33.566573
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58580727--0.58584721) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dl = 254.457739999749m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58580727--0.58584721) × R
    3.99399999999606e-05 × 6371000     		dr = 254.457739999749m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38320758-0.38325551) × cos(-0.58580727) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.833266040281327 × 6371000     		do = 254.447809590523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38320758-0.38325551) × cos(-0.58584721) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.833243957899729 × 6371000     		du = 254.441066469652m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58580727)-sin(-0.58584721))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833266040281327-0.833243957899729)×R²
    abs(0.38325551-0.38320758)×2.20823815978433e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.20823815978433e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.20823815978433e-05×40589641000000     		ar = 64745.3566652836m²