Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73529 / 76567
↖ ↑ ↗
← S 28.976909°
E 21.953430°		 ← 267.19 m → S 28.976909°
E 21.956177°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.979312°
E 21.953430°		 ← 267.18 m →
71 393 m²		 S 28.979312°
E 21.956177°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73529 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76567 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560985565185547 y=0.584163665771484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560985565185547 × 217)
    floor (0.560985565185547 × 131072)
    floor (73529.5)     		tx = 73529
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584163665771484 × 217)
    floor (0.584163665771484 × 131072)
    floor (76567.5)     		ty = 76567
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73529 / 76567 ti = "17/73529/76567"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73529/76567.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73529 ÷ 217
    73529 ÷ 131072     		x = 0.560981750488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76567 ÷ 217
    76567 ÷ 131072     		y = 0.584159851074219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560981750488281 × 2 - 1) × π
    0.121963500976562 × 3.1415926535     		Λ = 0.38315964
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584159851074219 × 2 - 1) × π
    -0.168319702148438 × 3.1415926535     		Φ = -0.528791939708839
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38315964} λ = 0.38315964}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528791939708839))-π/2
    2×atan(0.589316469650304)-π/2
    2×0.532526926118631-π/2
    1.06505385223726-1.57079632675     		φ = -0.50574247
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38315964} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.953430°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50574247 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.976909°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73529 KachelY 76567 0.38315964 -0.50574247 21.953430 -28.976909
    Oben rechts KachelX + 1 73530 KachelY 76567 0.38320758 -0.50574247 21.956177 -28.976909
    Unten links KachelX 73529 KachelY + 1 76568 0.38315964 -0.50578441 21.953430 -28.979312
    Unten rechts KachelX + 1 73530 KachelY + 1 76568 0.38320758 -0.50578441 21.956177 -28.979312
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50574247--0.50578441) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50574247--0.50578441) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38315964-0.38320758) × cos(-0.50574247) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874815020723914 × 6371000     		do = 267.191025067541m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38315964-0.38320758) × cos(-0.50578441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874794701823858 × 6371000     		du = 267.184819152456m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50574247)-sin(-0.50578441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874815020723914-0.874794701823858)×R²
    abs(0.38320758-0.38315964)×2.03189000556048e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03189000556048e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03189000556048e-05×40589641000000     		ar = 71392.5433292482m²