Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73528 / 76568
↖ ↑ ↗
← S 28.979312°
E 21.950683°		 ← 267.18 m → S 28.979312°
E 21.953430°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
S 28.981714°
E 21.950683°		 ← 267.18 m →
71 374 m²		 S 28.981714°
E 21.953430°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73528 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560977935791016 y=0.584171295166016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560977935791016 × 217)
    floor (0.560977935791016 × 131072)
    floor (73528.5)     		tx = 73528
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584171295166016 × 217)
    floor (0.584171295166016 × 131072)
    floor (76568.5)     		ty = 76568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73528 / 76568 ti = "17/73528/76568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73528/76568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73528 ÷ 217
    73528 ÷ 131072     		x = 0.56097412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76568 ÷ 217
    76568 ÷ 131072     		y = 0.58416748046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56097412109375 × 2 - 1) × π
    0.1219482421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38311170
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58416748046875 × 2 - 1) × π
    -0.1683349609375 × 3.1415926535     		Φ = -0.528839876608459
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38311170} λ = 0.38311170}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528839876608459))-π/2
    2×atan(0.589288220322952)-π/2
    2×0.532505958402244-π/2
    1.06501191680449-1.57079632675     		φ = -0.50578441
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38311170} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.950683°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50578441 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.979312°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73528 KachelY 76568 0.38311170 -0.50578441 21.950683 -28.979312
    Oben rechts KachelX + 1 73529 KachelY 76568 0.38315964 -0.50578441 21.953430 -28.979312
    Unten links KachelX 73528 KachelY + 1 76569 0.38311170 -0.50582634 21.950683 -28.981714
    Unten rechts KachelX + 1 73529 KachelY + 1 76569 0.38315964 -0.50582634 21.953430 -28.981714
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50578441--0.50582634) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dl = 267.136030000502m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50578441--0.50582634) × R
    4.19300000000788e-05 × 6371000     		dr = 267.136030000502m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38311170-0.38315964) × cos(-0.50578441) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874794701823858 × 6371000     		do = 267.184819152765m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38311170-0.38315964) × cos(-0.50582634) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874774386230375 × 6371000     		du = 267.178614247592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50578441)-sin(-0.50582634))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874794701823858-0.874774386230375)×R²
    abs(0.38315964-0.38311170)×2.03155934829224e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03155934829224e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03155934829224e-05×40589641000000     		ar = 71373.8630984934m²