Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73524 / 76564
↖ ↑ ↗
← S 28.969701°
E 21.939697°		 ← 267.21 m → S 28.969701°
E 21.942444°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.972104°
E 21.939697°		 ← 267.20 m →
71 398 m²		 S 28.972104°
E 21.942444°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73524 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76564 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560947418212891 y=0.584140777587891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560947418212891 × 217)
    floor (0.560947418212891 × 131072)
    floor (73524.5)     		tx = 73524
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584140777587891 × 217)
    floor (0.584140777587891 × 131072)
    floor (76564.5)     		ty = 76564
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73524 / 76564 ti = "17/73524/76564"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73524/76564.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73524 ÷ 217
    73524 ÷ 131072     		x = 0.560943603515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76564 ÷ 217
    76564 ÷ 131072     		y = 0.584136962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560943603515625 × 2 - 1) × π
    0.12188720703125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38291995
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584136962890625 × 2 - 1) × π
    -0.16827392578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.528648129009979
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38291995} λ = 0.38291995}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528648129009979))-π/2
    2×atan(0.589401225757926)-π/2
    2×0.532589832189369-π/2
    1.06517966437874-1.57079632675     		φ = -0.50561666
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38291995} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.939697°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50561666 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.969701°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73524 KachelY 76564 0.38291995 -0.50561666 21.939697 -28.969701
    Oben rechts KachelX + 1 73525 KachelY 76564 0.38296789 -0.50561666 21.942444 -28.969701
    Unten links KachelX 73524 KachelY + 1 76565 0.38291995 -0.50565860 21.939697 -28.972104
    Unten rechts KachelX + 1 73525 KachelY + 1 76565 0.38296789 -0.50565860 21.942444 -28.972104
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50561666--0.50565860) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dl = 267.199739999408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50561666--0.50565860) × R
    4.19399999999071e-05 × 6371000     		dr = 267.199739999408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38291995-0.38296789) × cos(-0.50561666) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874875963347861 × 6371000     		do = 267.209638513558m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38291995-0.38296789) × cos(-0.50565860) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874855649063849 × 6371000     		du = 267.203434008331m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50561666)-sin(-0.50565860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874875963347861-0.874855649063849)×R²
    abs(0.38296789-0.38291995)×2.03142840119463e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03142840119463e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03142840119463e-05×40589641000000     		ar = 71397.5170255336m²