Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73521 / 78516
↖ ↑ ↗
← S 33.550551°
E 21.931457°		 ← 254.54 m → S 33.550551°
E 21.934204°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.552840°
E 21.931457°		 ← 254.53 m →
64 785 m²		 S 33.552840°
E 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78516 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560924530029297 y=0.599033355712891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560924530029297 × 217)
    floor (0.560924530029297 × 131072)
    floor (73521.5)     		tx = 73521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599033355712891 × 217)
    floor (0.599033355712891 × 131072)
    floor (78516.5)     		ty = 78516
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73521 / 78516 ti = "17/73521/78516"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73521/78516.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73521 ÷ 217
    73521 ÷ 131072     		x = 0.560920715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78516 ÷ 217
    78516 ÷ 131072     		y = 0.599029541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560920715332031 × 2 - 1) × π
    0.121841430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38277614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599029541015625 × 2 - 1) × π
    -0.19805908203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.622220957068329
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38277614} λ = 0.38277614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622220957068329))-π/2
    2×atan(0.536751011857856)-π/2
    2×0.492614371745445-π/2
    0.98522874349089-1.57079632675     		φ = -0.58556758
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38277614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.931457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58556758 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.550551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73521 KachelY 78516 0.38277614 -0.58556758 21.931457 -33.550551
    Oben rechts KachelX + 1 73522 KachelY 78516 0.38282408 -0.58556758 21.934204 -33.550551
    Unten links KachelX 73521 KachelY + 1 78517 0.38277614 -0.58560753 21.931457 -33.552840
    Unten rechts KachelX + 1 73522 KachelY + 1 78517 0.38282408 -0.58560753 21.934204 -33.552840
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58556758--0.58560753) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58556758--0.58560753) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38277614-0.38282408) × cos(-0.58556758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833398534289499 × 6371000     		do = 254.541364050413m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38277614-0.38282408) × cos(-0.58560753) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833376454358409 × 6371000     		du = 254.534620271121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58556758)-sin(-0.58560753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833398534289499-0.833376454358409)×R²
    abs(0.38282408-0.38277614)×2.20799310892694e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20799310892694e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20799310892694e-05×40589641000000     		ar = 64785.3788533766m²