Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73521 / 78515
↖ ↑ ↗
← S 33.548262°
E 21.931457°		 ← 254.55 m → S 33.548262°
E 21.934204°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.550551°
E 21.931457°		 ← 254.54 m →
64 787 m²		 S 33.550551°
E 21.934204°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73521 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78515 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560924530029297 y=0.599025726318359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560924530029297 × 217)
    floor (0.560924530029297 × 131072)
    floor (73521.5)     		tx = 73521
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599025726318359 × 217)
    floor (0.599025726318359 × 131072)
    floor (78515.5)     		ty = 78515
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73521 / 78515 ti = "17/73521/78515"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73521/78515.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73521 ÷ 217
    73521 ÷ 131072     		x = 0.560920715332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78515 ÷ 217
    78515 ÷ 131072     		y = 0.599021911621094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560920715332031 × 2 - 1) × π
    0.121841430664062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38277614
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599021911621094 × 2 - 1) × π
    -0.198043823242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.622173020168709
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38277614} λ = 0.38277614}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622173020168709))-π/2
    2×atan(0.536776742653955)-π/2
    2×0.492634347280945-π/2
    0.985268694561891-1.57079632675     		φ = -0.58552763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38277614} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.931457°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58552763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.548262°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73521 KachelY 78515 0.38277614 -0.58552763 21.931457 -33.548262
    Oben rechts KachelX + 1 73522 KachelY 78515 0.38282408 -0.58552763 21.934204 -33.548262
    Unten links KachelX 73521 KachelY + 1 78516 0.38277614 -0.58556758 21.931457 -33.550551
    Unten rechts KachelX + 1 73522 KachelY + 1 78516 0.38282408 -0.58556758 21.934204 -33.550551
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58552763--0.58556758) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dl = 254.521450000069m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58552763--0.58556758) × R
    3.99500000000108e-05 × 6371000     		dr = 254.521450000069m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38277614-0.38282408) × cos(-0.58552763) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833420612890482 × 6371000     		do = 254.548107423457m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38277614-0.38282408) × cos(-0.58556758) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.833398534289499 × 6371000     		du = 254.541364050413m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58552763)-sin(-0.58556758))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833420612890482-0.833398534289499)×R²
    abs(0.38282408-0.38277614)×2.20786009831331e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.20786009831331e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.20786009831331e-05×40589641000000     		ar = 64787.0952383066m²