Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73520 / 76560
↖ ↑ ↗
← S 28.960089°
E 21.928711°		 ← 267.18 m → S 28.960089°
E 21.931457°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.962492°
E 21.928711°		 ← 267.17 m →
71 389 m²		 S 28.962492°
E 21.931457°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73520 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76560 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560916900634766 y=0.584110260009766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560916900634766 × 217)
    floor (0.560916900634766 × 131072)
    floor (73520.5)     		tx = 73520
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584110260009766 × 217)
    floor (0.584110260009766 × 131072)
    floor (76560.5)     		ty = 76560
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73520 / 76560 ti = "17/73520/76560"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73520/76560.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73520 ÷ 217
    73520 ÷ 131072     		x = 0.5609130859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76560 ÷ 217
    76560 ÷ 131072     		y = 0.5841064453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5609130859375 × 2 - 1) × π
    0.121826171875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38272821
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5841064453125 × 2 - 1) × π
    -0.168212890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.528456381411499
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38272821} λ = 0.38272821}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528456381411499))-π/2
    2×atan(0.589514252863498)-π/2
    2×0.532673713766414-π/2
    1.06534742753283-1.57079632675     		φ = -0.50544890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38272821} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.928711°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50544890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.960089°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73520 KachelY 76560 0.38272821 -0.50544890 21.928711 -28.960089
    Oben rechts KachelX + 1 73521 KachelY 76560 0.38277614 -0.50544890 21.931457 -28.960089
    Unten links KachelX 73520 KachelY + 1 76561 0.38272821 -0.50549084 21.928711 -28.962492
    Unten rechts KachelX + 1 73521 KachelY + 1 76561 0.38277614 -0.50549084 21.931457 -28.962492
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50544890--0.50549084) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50544890--0.50549084) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38272821-0.38277614) × cos(-0.50544890) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874957205094802 × 6371000     		do = 267.178708310729m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38272821-0.38277614) × cos(-0.50549084) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874936896966504 × 6371000     		du = 267.172506979447m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50544890)-sin(-0.50549084))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874957205094802-0.874936896966504)×R²
    abs(0.38277614-0.38272821)×2.03081282977857e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03081282977857e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03081282977857e-05×40589641000000     		ar = 71389.2529075529m²