Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73519 / 76557
↖ ↑ ↗
← S 28.952879°
E 21.925964°		 ← 267.25 m → S 28.952879°
E 21.928711°		 →
↑
267.20 m
↓
↑
267.20 m
↓
S 28.955282°
E 21.925964°		 ← 267.25 m →
71 409 m²		 S 28.955282°
E 21.928711°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73519 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76557 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560909271240234 y=0.584087371826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560909271240234 × 217)
    floor (0.560909271240234 × 131072)
    floor (73519.5)     		tx = 73519
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584087371826172 × 217)
    floor (0.584087371826172 × 131072)
    floor (76557.5)     		ty = 76557
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73519 / 76557 ti = "17/73519/76557"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73519/76557.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73519 ÷ 217
    73519 ÷ 131072     		x = 0.560905456542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76557 ÷ 217
    76557 ÷ 131072     		y = 0.584083557128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560905456542969 × 2 - 1) × π
    0.121810913085938 × 3.1415926535     		Λ = 0.38268027
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584083557128906 × 2 - 1) × π
    -0.168167114257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.528312570712639
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38268027} λ = 0.38268027}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528312570712639))-π/2
    2×atan(0.589599037416507)-π/2
    2×0.532736630060348-π/2
    1.0654732601207-1.57079632675     		φ = -0.50532307
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38268027} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.925964°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50532307 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.952879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73519 KachelY 76557 0.38268027 -0.50532307 21.925964 -28.952879
    Oben rechts KachelX + 1 73520 KachelY 76557 0.38272821 -0.50532307 21.928711 -28.952879
    Unten links KachelX 73519 KachelY + 1 76558 0.38268027 -0.50536501 21.925964 -28.955282
    Unten rechts KachelX + 1 73520 KachelY + 1 76558 0.38272821 -0.50536501 21.928711 -28.955282
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50532307--0.50536501) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dl = 267.199740000115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50532307--0.50536501) × R
    4.19400000000181e-05 × 6371000     		dr = 267.199740000115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38268027-0.38272821) × cos(-0.50532307) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.875018125086347 × 6371000     		do = 267.253058368044m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38268027-0.38272821) × cos(-0.50536501) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874997821575577 × 6371000     		du = 267.246857153243m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50532307)-sin(-0.50536501))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875018125086347-0.874997821575577)×R²
    abs(0.38272821-0.38268027)×2.03035107699812e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03035107699812e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03035107699812e-05×40589641000000     		ar = 71409.119239175m²