Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73518 / 78513
↖ ↑ ↗
← S 33.543684°
E 21.923218°		 ← 254.56 m → S 33.543684°
E 21.925964°		 →
↑
254.52 m
↓
↑
254.52 m
↓
S 33.545973°
E 21.923218°		 ← 254.55 m →
64 791 m²		 S 33.545973°
E 21.925964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 78513 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560901641845703 y=0.599010467529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560901641845703 × 217)
    floor (0.560901641845703 × 131072)
    floor (73518.5)     		tx = 73518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.599010467529297 × 217)
    floor (0.599010467529297 × 131072)
    floor (78513.5)     		ty = 78513
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73518 / 78513 ti = "17/73518/78513"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73518/78513.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73518 ÷ 217
    73518 ÷ 131072     		x = 0.560897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 78513 ÷ 217
    78513 ÷ 131072     		y = 0.599006652832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560897827148438 × 2 - 1) × π
    0.121795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38263233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.599006652832031 × 2 - 1) × π
    -0.198013305664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.622077146369469
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38263233} λ = 0.38263233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.622077146369469))-π/2
    2×atan(0.536828207946664)-π/2
    2×0.492674299939514-π/2
    0.985348599879028-1.57079632675     		φ = -0.58544773
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38263233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58544773 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.543684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73518 KachelY 78513 0.38263233 -0.58544773 21.923218 -33.543684
    Oben rechts KachelX + 1 73519 KachelY 78513 0.38268027 -0.58544773 21.925964 -33.543684
    Unten links KachelX 73518 KachelY + 1 78514 0.38263233 -0.58548768 21.923218 -33.545973
    Unten rechts KachelX + 1 73519 KachelY + 1 78514 0.38268027 -0.58548768 21.925964 -33.545973
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58544773--0.58548768) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dl = 254.521449999362m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58544773--0.58548768) × R
    3.99499999998998e-05 × 6371000     		dr = 254.521449999362m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38263233-0.38268027) × cos(-0.58544773) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833464766101989 × 6371000     		do = 254.56159295046m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38263233-0.38268027) × cos(-0.58548768) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.833442690161324 × 6371000     		du = 254.554850389946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58544773)-sin(-0.58548768))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.833464766101989-0.833442690161324)×R²
    abs(0.38268027-0.38263233)×2.20759406650561e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.20759406650561e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.20759406650561e-05×40589641000000     		ar = 64790.5276972177m²