Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73518 / 76558
↖ ↑ ↗
← S 28.955282°
E 21.923218°		 ← 267.25 m → S 28.955282°
E 21.925964°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 28.957686°
E 21.923218°		 ← 267.24 m →
71 424 m²		 S 28.957686°
E 21.925964°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73518 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560901641845703 y=0.584095001220703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560901641845703 × 217)
    floor (0.560901641845703 × 131072)
    floor (73518.5)     		tx = 73518
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584095001220703 × 217)
    floor (0.584095001220703 × 131072)
    floor (76558.5)     		ty = 76558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73518 / 76558 ti = "17/73518/76558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73518/76558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73518 ÷ 217
    73518 ÷ 131072     		x = 0.560897827148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76558 ÷ 217
    76558 ÷ 131072     		y = 0.584091186523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560897827148438 × 2 - 1) × π
    0.121795654296875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38263233
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584091186523438 × 2 - 1) × π
    -0.168182373046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.528360507612259
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38263233} λ = 0.38263233}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528360507612259))-π/2
    2×atan(0.589570774544057)-π/2
    2×0.532715657475645-π/2
    1.06543131495129-1.57079632675     		φ = -0.50536501
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38263233} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.923218°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50536501 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.955282°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73518 KachelY 76558 0.38263233 -0.50536501 21.923218 -28.955282
    Oben rechts KachelX + 1 73519 KachelY 76558 0.38268027 -0.50536501 21.925964 -28.955282
    Unten links KachelX 73518 KachelY + 1 76559 0.38263233 -0.50540696 21.923218 -28.957686
    Unten rechts KachelX + 1 73519 KachelY + 1 76559 0.38268027 -0.50540696 21.925964 -28.957686
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50536501--0.50540696) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dl = 267.263449999728m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50536501--0.50540696) × R
    4.19499999999573e-05 × 6371000     		dr = 267.263449999728m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38263233-0.38268027) × cos(-0.50536501) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874997821575577 × 6371000     		do = 267.246857152933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38263233-0.38268027) × cos(-0.50540696) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874977511684082 × 6371000     		du = 267.240653989294m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50536501)-sin(-0.50540696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874997821575577-0.874977511684082)×R²
    abs(0.38268027-0.38263233)×2.03098914949296e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03098914949296e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03098914949296e-05×40589641000000     		ar = 71424.4881153393m²