Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73516 / 76555
↖ ↑ ↗
← S 28.948072°
E 21.917725°		 ← 267.27 m → S 28.948072°
E 21.920471°		 →
↑
267.26 m
↓
↑
267.26 m
↓
S 28.950476°
E 21.917725°		 ← 267.26 m →
71 429 m²		 S 28.950476°
E 21.920471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76555 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560886383056641 y=0.584072113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560886383056641 × 217)
    floor (0.560886383056641 × 131072)
    floor (73516.5)     		tx = 73516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584072113037109 × 217)
    floor (0.584072113037109 × 131072)
    floor (76555.5)     		ty = 76555
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73516 / 76555 ti = "17/73516/76555"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73516/76555.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73516 ÷ 217
    73516 ÷ 131072     		x = 0.560882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76555 ÷ 217
    76555 ÷ 131072     		y = 0.584068298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560882568359375 × 2 - 1) × π
    0.12176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38253646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584068298339844 × 2 - 1) × π
    -0.168136596679688 × 3.1415926535     		Φ = -0.528216696913399
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38253646} λ = 0.38253646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.528216696913399))-π/2
    2×atan(0.589655567226073)-π/2
    2×0.532778576689801-π/2
    1.0655571533796-1.57079632675     		φ = -0.50523917
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38253646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50523917 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.948072°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73516 KachelY 76555 0.38253646 -0.50523917 21.917725 -28.948072
    Oben rechts KachelX + 1 73517 KachelY 76555 0.38258440 -0.50523917 21.920471 -28.948072
    Unten links KachelX 73516 KachelY + 1 76556 0.38253646 -0.50528112 21.917725 -28.950476
    Unten rechts KachelX + 1 73517 KachelY + 1 76556 0.38258440 -0.50528112 21.920471 -28.950476
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50523917--0.50528112) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dl = 267.263450000435m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50523917--0.50528112) × R
    4.19500000000683e-05 × 6371000     		dr = 267.263450000435m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38253646-0.38258440) × cos(-0.50523917) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875058737170811 × 6371000     		do = 267.265462343685m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38253646-0.38258440) × cos(-0.50528112) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875038431898526 × 6371000     		du = 267.259260590872m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50523917)-sin(-0.50528112))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875058737170811-0.875038431898526)×R²
    abs(0.38258440-0.38253646)×2.03052722848041e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03052722848041e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03052722848041e-05×40589641000000     		ar = 71429.460791509m²