Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73516 / 76481
↖ ↑ ↗
← S 28.770067°
E 21.917725°		 ← 267.72 m → S 28.770067°
E 21.920471°		 →
↑
267.71 m
↓
↑
267.71 m
↓
S 28.772474°
E 21.917725°		 ← 267.72 m →
71 671 m²		 S 28.772474°
E 21.920471°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73516 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76481 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560886383056641 y=0.583507537841797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560886383056641 × 217)
    floor (0.560886383056641 × 131072)
    floor (73516.5)     		tx = 73516
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583507537841797 × 217)
    floor (0.583507537841797 × 131072)
    floor (76481.5)     		ty = 76481
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73516 / 76481 ti = "17/73516/76481"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73516/76481.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73516 ÷ 217
    73516 ÷ 131072     		x = 0.560882568359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76481 ÷ 217
    76481 ÷ 131072     		y = 0.583503723144531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560882568359375 × 2 - 1) × π
    0.12176513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38253646
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583503723144531 × 2 - 1) × π
    -0.167007446289062 × 3.1415926535     		Φ = -0.524669366341515
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38253646} λ = 0.38253646}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.524669366341515))-π/2
    2×atan(0.591750984818703)-π/2
    2×0.534331968676526-π/2
    1.06866393735305-1.57079632675     		φ = -0.50213239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38253646} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.917725°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50213239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.770067°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73516 KachelY 76481 0.38253646 -0.50213239 21.917725 -28.770067
    Oben rechts KachelX + 1 73517 KachelY 76481 0.38258440 -0.50213239 21.920471 -28.770067
    Unten links KachelX 73516 KachelY + 1 76482 0.38253646 -0.50217441 21.917725 -28.772474
    Unten rechts KachelX + 1 73517 KachelY + 1 76482 0.38258440 -0.50217441 21.920471 -28.772474
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50213239--0.50217441) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dl = 267.709419999847m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50213239--0.50217441) × R
    4.2019999999976e-05 × 6371000     		dr = 267.709419999847m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38253646-0.38258440) × cos(-0.50213239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.876558245219451 × 6371000     		do = 267.723450699077m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38253646-0.38258440) × cos(-0.50217441) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.87653802039627 × 6371000     		du = 267.71727351749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50213239)-sin(-0.50217441))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.876558245219451-0.87653802039627)×R²
    abs(0.38258440-0.38253646)×2.02248231805369e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02248231805369e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02248231805369e-05×40589641000000     		ar = 71671.2628726163m²