Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73512 / 76616
↖ ↑ ↗
← S 29.094577°
E 21.906738°		 ← 266.89 m → S 29.094577°
E 21.909485°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.096977°
E 21.906738°		 ← 266.88 m →
71 226 m²		 S 29.096977°
E 21.909485°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73512 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76616 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560855865478516 y=0.584537506103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560855865478516 × 217)
    floor (0.560855865478516 × 131072)
    floor (73512.5)     		tx = 73512
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584537506103516 × 217)
    floor (0.584537506103516 × 131072)
    floor (76616.5)     		ty = 76616
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73512 / 76616 ti = "17/73512/76616"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73512/76616.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73512 ÷ 217
    73512 ÷ 131072     		x = 0.56085205078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76616 ÷ 217
    76616 ÷ 131072     		y = 0.58453369140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56085205078125 × 2 - 1) × π
    0.1217041015625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38234471
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58453369140625 × 2 - 1) × π
    -0.1690673828125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531140847790222
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38234471} λ = 0.38234471}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531140847790222))-π/2
    2×atan(0.587933843898356)-π/2
    2×0.531500081165156-π/2
    1.06300016233031-1.57079632675     		φ = -0.50779616
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38234471} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.906738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50779616 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.094577°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73512 KachelY 76616 0.38234471 -0.50779616 21.906738 -29.094577
    Oben rechts KachelX + 1 73513 KachelY 76616 0.38239265 -0.50779616 21.909485 -29.094577
    Unten links KachelX 73512 KachelY + 1 76617 0.38234471 -0.50783805 21.906738 -29.096977
    Unten rechts KachelX + 1 73513 KachelY + 1 76617 0.38239265 -0.50783805 21.909485 -29.096977
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50779616--0.50783805) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50779616--0.50783805) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38234471-0.38239265) × cos(-0.50779616) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873818251898395 × 6371000     		do = 266.886586211708m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38234471-0.38239265) × cos(-0.50783805) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873797882007225 × 6371000     		du = 266.880364722623m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50779616)-sin(-0.50783805))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873818251898395-0.873797882007225)×R²
    abs(0.38239265-0.38234471)×2.03698911699357e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03698911699357e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03698911699357e-05×40589641000000     		ar = 71226.1795344885m²