Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73511 / 76093
↖ ↑ ↗
← S 27.831790°
E 21.903991°		 ← 270.09 m → S 27.831790°
E 21.906738°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
S 27.834219°
E 21.903991°		 ← 270.09 m →
72 943 m²		 S 27.834219°
E 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76093 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560848236083984 y=0.580547332763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560848236083984 × 217)
    floor (0.560848236083984 × 131072)
    floor (73511.5)     		tx = 73511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580547332763672 × 217)
    floor (0.580547332763672 × 131072)
    floor (76093.5)     		ty = 76093
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73511 / 76093 ti = "17/73511/76093"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73511/76093.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73511 ÷ 217
    73511 ÷ 131072     		x = 0.560844421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76093 ÷ 217
    76093 ÷ 131072     		y = 0.580543518066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560844421386719 × 2 - 1) × π
    0.121688842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.38229677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580543518066406 × 2 - 1) × π
    -0.161087036132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.506069849288933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38229677} λ = 0.38229677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.506069849288933))-π/2
    2×atan(0.60286026067262)-π/2
    2×0.542519979472998-π/2
    1.085039958946-1.57079632675     		φ = -0.48575637
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38229677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.903991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48575637 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.831790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73511 KachelY 76093 0.38229677 -0.48575637 21.903991 -27.831790
    Oben rechts KachelX + 1 73512 KachelY 76093 0.38234471 -0.48575637 21.906738 -27.831790
    Unten links KachelX 73511 KachelY + 1 76094 0.38229677 -0.48579876 21.903991 -27.834219
    Unten rechts KachelX + 1 73512 KachelY + 1 76094 0.38234471 -0.48579876 21.906738 -27.834219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48575637--0.48579876) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48575637--0.48579876) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38229677-0.38234471) × cos(-0.48575637) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884322070066014 × 6371000     		do = 270.094722648067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38229677-0.38234471) × cos(-0.48579876) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884302278339882 × 6371000     		du = 270.088677745467m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48575637)-sin(-0.48579876))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884322070066014-0.884302278339882)×R²
    abs(0.38234471-0.38229677)×1.97917261319791e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97917261319791e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97917261319791e-05×40589641000000     		ar = 72942.7714795323m²