Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73511 / 76089
↖ ↑ ↗
← S 27.822074°
E 21.903991°		 ← 270.12 m → S 27.822074°
E 21.906738°		 →
↑
270.13 m
↓
↑
270.13 m
↓
S 27.824503°
E 21.903991°		 ← 270.11 m →
72 967 m²		 S 27.824503°
E 21.906738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73511 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76089 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560848236083984 y=0.580516815185547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560848236083984 × 217)
    floor (0.560848236083984 × 131072)
    floor (73511.5)     		tx = 73511
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580516815185547 × 217)
    floor (0.580516815185547 × 131072)
    floor (76089.5)     		ty = 76089
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73511 / 76089 ti = "17/73511/76089"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73511/76089.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73511 ÷ 217
    73511 ÷ 131072     		x = 0.560844421386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76089 ÷ 217
    76089 ÷ 131072     		y = 0.580513000488281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560844421386719 × 2 - 1) × π
    0.121688842773438 × 3.1415926535     		Λ = 0.38229677
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580513000488281 × 2 - 1) × π
    -0.161026000976562 × 3.1415926535     		Φ = -0.505878101690453
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38229677} λ = 0.38229677}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505878101690453))-π/2
    2×atan(0.602975868763255)-π/2
    2×0.542604766584422-π/2
    1.08520953316884-1.57079632675     		φ = -0.48558679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38229677} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.903991°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48558679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.822074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73511 KachelY 76089 0.38229677 -0.48558679 21.903991 -27.822074
    Oben rechts KachelX + 1 73512 KachelY 76089 0.38234471 -0.48558679 21.906738 -27.822074
    Unten links KachelX 73511 KachelY + 1 76090 0.38229677 -0.48562919 21.903991 -27.824503
    Unten rechts KachelX + 1 73512 KachelY + 1 76090 0.38234471 -0.48562919 21.906738 -27.824503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48558679--0.48562919) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dl = 270.130399999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48558679--0.48562919) × R
    4.2399999999998e-05 × 6371000     		dr = 270.130399999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38229677-0.38234471) × cos(-0.48558679) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884401230414244 × 6371000     		do = 270.118900256004m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38229677-0.38234471) × cos(-0.48562919) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.884381440377622 × 6371000     		du = 270.112855869424m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48558679)-sin(-0.48562919))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884401230414244-0.884381440377622)×R²
    abs(0.38234471-0.38229677)×1.97900366216697e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.97900366216697e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.97900366216697e-05×40589641000000     		ar = 72966.510198322m²