Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73510 / 76090
↖ ↑ ↗
← S 27.824503°
E 21.901245°		 ← 270.06 m → S 27.824503°
E 21.903991°		 →
↑
270.07 m
↓
↑
270.07 m
↓
S 27.826932°
E 21.901245°		 ← 270.05 m →
72 932 m²		 S 27.826932°
E 21.903991°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73510 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76090 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560840606689453 y=0.580524444580078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560840606689453 × 217)
    floor (0.560840606689453 × 131072)
    floor (73510.5)     		tx = 73510
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.580524444580078 × 217)
    floor (0.580524444580078 × 131072)
    floor (76090.5)     		ty = 76090
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73510 / 76090 ti = "17/73510/76090"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73510/76090.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73510 ÷ 217
    73510 ÷ 131072     		x = 0.560836791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76090 ÷ 217
    76090 ÷ 131072     		y = 0.580520629882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560836791992188 × 2 - 1) × π
    0.121673583984375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38224884
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.580520629882812 × 2 - 1) × π
    -0.161041259765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.505926038590073
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38224884} λ = 0.38224884}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.505926038590073))-π/2
    2×atan(0.602946964662353)-π/2
    2×0.542583569095097-π/2
    1.08516713819019-1.57079632675     		φ = -0.48562919
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38224884} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.901245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.48562919 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -27.824503°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73510 KachelY 76090 0.38224884 -0.48562919 21.901245 -27.824503
    Oben rechts KachelX + 1 73511 KachelY 76090 0.38229677 -0.48562919 21.903991 -27.824503
    Unten links KachelX 73510 KachelY + 1 76091 0.38224884 -0.48567158 21.901245 -27.826932
    Unten rechts KachelX + 1 73511 KachelY + 1 76091 0.38229677 -0.48567158 21.903991 -27.826932
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.48562919--0.48567158) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dl = 270.066690000021m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.48562919--0.48567158) × R
    4.23900000000033e-05 × 6371000     		dr = 270.066690000021m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38224884-0.38229677) × cos(-0.48562919) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884381440377622 × 6371000     		do = 270.0565119282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38224884-0.38229677) × cos(-0.48567158) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.884361653419119 × 6371000     		du = 270.050469742384m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.48562919)-sin(-0.48567158))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.884381440377622-0.884361653419119)×R²
    abs(0.38229677-0.38224884)×1.97869585032429e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.97869585032429e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.97869585032429e-05×40589641000000     		ar = 72932.4524038193m²