Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7351 / 5769
↖ ↑ ↗
← N 46.905245°
W 18.479004°		 ← 1 669.22 m → N 46.905245°
W 18.457032°		 →
↑
1 669.46 m
↓
↑
1 669.46 m
↓
N 46.890232°
W 18.479004°		 ← 1 669.69 m →
2 787 083 m²		 N 46.890232°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5769 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448699951171875 y=0.352142333984375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448699951171875 × 214)
    floor (0.448699951171875 × 16384)
    floor (7351.5)     		tx = 7351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352142333984375 × 214)
    floor (0.352142333984375 × 16384)
    floor (5769.5)     		ty = 5769
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7351 / 5769 ti = "14/7351/5769"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7351/5769.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7351 ÷ 214
    7351 ÷ 16384     		x = 0.44866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5769 ÷ 214
    5769 ÷ 16384     		y = 0.35211181640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32251946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35211181640625 × 2 - 1) × π
    0.2957763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.929208862235169
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32251946} λ = -0.32251946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.929208862235169))-π/2
    2×atan(2.53250482465633)-π/2
    2×1.19472364900917-π/2
    2.38944729801835-1.57079632675     		φ = 0.81865097
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32251946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.479004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81865097 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.905245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7351 KachelY 5769 -0.32251946 0.81865097 -18.479004 46.905245
    Oben rechts KachelX + 1 7352 KachelY 5769 -0.32213597 0.81865097 -18.457032 46.905245
    Unten links KachelX 7351 KachelY + 1 5770 -0.32251946 0.81838893 -18.479004 46.890232
    Unten rechts KachelX + 1 7352 KachelY + 1 5770 -0.32213597 0.81838893 -18.457032 46.890232
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81865097-0.81838893) × R
    0.000262039999999963 × 6371000     		dl = 1669.45683999977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81865097-0.81838893) × R
    0.000262039999999963 × 6371000     		dr = 1669.45683999977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32251946--0.32213597) × cos(0.81865097) × R
    0.000383489999999986 × 0.683206923866187 × 6371000     		do = 1669.22126102021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32251946--0.32213597) × cos(0.81838893) × R
    0.000383489999999986 × 0.683398248521694 × 6371000     		du = 1669.68870824824m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81865097)-sin(0.81838893))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683206923866187-0.683398248521694)×R²
    abs(-0.32213597--0.32251946)×0.000191324655506642×R²
    0.000383489999999986×0.000191324655506642×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191324655506642×40589641000000     		ar = 2787083.05911784m²