Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7351 / 3898
↖ ↑ ↗
← N 68.187889°
W 18.479004°		 ← 907.81 m → N 68.187889°
W 18.457032°		 →
↑
907.99 m
↓
↑
907.99 m
↓
N 68.179724°
W 18.479004°		 ← 908.13 m →
824 434 m²		 N 68.179724°
W 18.457032°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7351 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448699951171875 y=0.237945556640625 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448699951171875 × 214)
    floor (0.448699951171875 × 16384)
    floor (7351.5)     		tx = 7351
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.237945556640625 × 214)
    floor (0.237945556640625 × 16384)
    floor (3898.5)     		ty = 3898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7351 / 3898 ti = "14/7351/3898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7351/3898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7351 ÷ 214
    7351 ÷ 16384     		x = 0.44866943359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3898 ÷ 214
    3898 ÷ 16384     		y = 0.2379150390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44866943359375 × 2 - 1) × π
    -0.1026611328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32251946
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2379150390625 × 2 - 1) × π
    0.524169921875 × 3.1415926535     		Φ = 1.64672837574817
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32251946} λ = -0.32251946}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.64672837574817))-π/2
    2×atan(5.18997238185371)-π/2
    2×1.38044975428378-π/2
    2.76089950856757-1.57079632675     		φ = 1.19010318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32251946} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.479004°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.19010318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 68.187889°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7351 KachelY 3898 -0.32251946 1.19010318 -18.479004 68.187889
    Oben rechts KachelX + 1 7352 KachelY 3898 -0.32213597 1.19010318 -18.457032 68.187889
    Unten links KachelX 7351 KachelY + 1 3899 -0.32251946 1.18996066 -18.479004 68.179724
    Unten rechts KachelX + 1 7352 KachelY + 1 3899 -0.32213597 1.18996066 -18.457032 68.179724
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.19010318-1.18996066) × R
    0.000142520000000035 × 6371000     		dl = 907.994920000222m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.19010318-1.18996066) × R
    0.000142520000000035 × 6371000     		dr = 907.994920000222m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32251946--0.32213597) × cos(1.19010318) × R
    0.000383489999999986 × 0.371564081172296 × 6371000     		do = 907.810858552881m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32251946--0.32213597) × cos(1.18996066) × R
    0.000383489999999986 × 0.371696394008098 × 6371000     		du = 908.13412723022m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.19010318)-sin(1.18996066))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371564081172296-0.371696394008098)×R²
    abs(-0.32213597--0.32251946)×0.00013231283580234×R²
    0.000383489999999986×0.00013231283580234×6371000²
    0.000383489999999986×0.00013231283580234×40589641000000     		ar = 824434.412441145m²