Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73508 / 76605
↖ ↑ ↗
← S 29.068174°
E 21.895752°		 ← 266.95 m → S 29.068174°
E 21.898498°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.070574°
E 21.895752°		 ← 266.95 m →
71 244 m²		 S 29.070574°
E 21.898498°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73508 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76605 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560825347900391 y=0.584453582763672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560825347900391 × 217)
    floor (0.560825347900391 × 131072)
    floor (73508.5)     		tx = 73508
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584453582763672 × 217)
    floor (0.584453582763672 × 131072)
    floor (76605.5)     		ty = 76605
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73508 / 76605 ti = "17/73508/76605"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73508/76605.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73508 ÷ 217
    73508 ÷ 131072     		x = 0.560821533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76605 ÷ 217
    76605 ÷ 131072     		y = 0.584449768066406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560821533203125 × 2 - 1) × π
    0.12164306640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38215296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584449768066406 × 2 - 1) × π
    -0.168899536132812 × 3.1415926535     		Φ = -0.530613541894402
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38215296} λ = 0.38215296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530613541894402))-π/2
    2×atan(0.588243946632911)-π/2
    2×0.53173049545278-π/2
    1.06346099090556-1.57079632675     		φ = -0.50733534
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38215296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.895752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50733534 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.068174°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73508 KachelY 76605 0.38215296 -0.50733534 21.895752 -29.068174
    Oben rechts KachelX + 1 73509 KachelY 76605 0.38220090 -0.50733534 21.898498 -29.068174
    Unten links KachelX 73508 KachelY + 1 76606 0.38215296 -0.50737723 21.895752 -29.070574
    Unten rechts KachelX + 1 73509 KachelY + 1 76606 0.38220090 -0.50737723 21.898498 -29.070574
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50733534--0.50737723) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50733534--0.50737723) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38215296-0.38220090) × cos(-0.50733534) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874042234067676 × 6371000     		do = 266.954996131507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38215296-0.38220090) × cos(-0.50737723) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874021881046441 × 6371000     		du = 266.948779794935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50733534)-sin(-0.50737723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874042234067676-0.874021881046441)×R²
    abs(0.38220090-0.38215296)×2.03530212353753e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03530212353753e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03530212353753e-05×40589641000000     		ar = 71244.4375427229m²