Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73502 / 76594
↖ ↑ ↗
← S 29.041763°
E 21.879272°		 ← 267.02 m → S 29.041763°
E 21.882019°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.044165°
E 21.879272°		 ← 267.02 m →
71 297 m²		 S 29.044165°
E 21.882019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73502 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76594 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560779571533203 y=0.584369659423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560779571533203 × 217)
    floor (0.560779571533203 × 131072)
    floor (73502.5)     		tx = 73502
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584369659423828 × 217)
    floor (0.584369659423828 × 131072)
    floor (76594.5)     		ty = 76594
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73502 / 76594 ti = "17/73502/76594"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73502/76594.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73502 ÷ 217
    73502 ÷ 131072     		x = 0.560775756835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76594 ÷ 217
    76594 ÷ 131072     		y = 0.584365844726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560775756835938 × 2 - 1) × π
    0.121551513671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38186534
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584365844726562 × 2 - 1) × π
    -0.168731689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530086235998581
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38186534} λ = 0.38186534}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530086235998581))-π/2
    2×atan(0.588554212929586)-π/2
    2×0.531960968778154-π/2
    1.06392193755631-1.57079632675     		φ = -0.50687439
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38186534} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.879272°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50687439 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.041763°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73502 KachelY 76594 0.38186534 -0.50687439 21.879272 -29.041763
    Oben rechts KachelX + 1 73503 KachelY 76594 0.38191328 -0.50687439 21.882019 -29.041763
    Unten links KachelX 73502 KachelY + 1 76595 0.38186534 -0.50691630 21.879272 -29.044165
    Unten rechts KachelX + 1 73503 KachelY + 1 76595 0.38191328 -0.50691630 21.882019 -29.044165
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50687439--0.50691630) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50687439--0.50691630) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38186534-0.38191328) × cos(-0.50687439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874266093737778 × 6371000     		do = 267.023368636904m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38186534-0.38191328) × cos(-0.50691630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874245747885887 × 6371000     		du = 267.017154490035m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50687439)-sin(-0.50691630))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874266093737778-0.874245747885887)×R²
    abs(0.38191328-0.38186534)×2.03458518905908e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03458518905908e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03458518905908e-05×40589641000000     		ar = 71296.7088923128m²