Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73501 / 76608
↖ ↑ ↗
← S 29.075375°
E 21.876526°		 ← 266.88 m → S 29.075375°
E 21.879272°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.077775°
E 21.876526°		 ← 266.87 m →
71 225 m²		 S 29.077775°
E 21.879272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76608 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560771942138672 y=0.584476470947266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560771942138672 × 217)
    floor (0.560771942138672 × 131072)
    floor (73501.5)     		tx = 73501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584476470947266 × 217)
    floor (0.584476470947266 × 131072)
    floor (76608.5)     		ty = 76608
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73501 / 76608 ti = "17/73501/76608"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73501/76608.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73501 ÷ 217
    73501 ÷ 131072     		x = 0.560768127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76608 ÷ 217
    76608 ÷ 131072     		y = 0.58447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560768127441406 × 2 - 1) × π
    0.121536254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38181741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58447265625 × 2 - 1) × π
    -0.1689453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530757352593262
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38181741} λ = 0.38181741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530757352593262))-π/2
    2×atan(0.588159356942443)-π/2
    2×0.531667649336112-π/2
    1.06333529867222-1.57079632675     		φ = -0.50746103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38181741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.876526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50746103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.075375°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73501 KachelY 76608 0.38181741 -0.50746103 21.876526 -29.075375
    Oben rechts KachelX + 1 73502 KachelY 76608 0.38186534 -0.50746103 21.879272 -29.075375
    Unten links KachelX 73501 KachelY + 1 76609 0.38181741 -0.50750292 21.876526 -29.077775
    Unten rechts KachelX + 1 73502 KachelY + 1 76609 0.38186534 -0.50750292 21.879272 -29.077775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50746103--0.50750292) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50746103--0.50750292) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38181741-0.38186534) × cos(-0.50746103) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873981160683682 × 6371000     		do = 266.88066140798m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38181741-0.38186534) × cos(-0.50750292) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873960803060694 × 6371000     		du = 266.874444962898m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50746103)-sin(-0.50750292))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873981160683682-0.873960803060694)×R²
    abs(0.38186534-0.38181741)×2.03576229881319e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03576229881319e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03576229881319e-05×40589641000000     		ar = 71224.5989888674m²