Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73501 / 76574
↖ ↑ ↗
← S 28.993727°
E 21.876526°		 ← 267.09 m → S 28.993727°
E 21.879272°		 →
↑
267.14 m
↓
↑
267.14 m
↓
S 28.996129°
E 21.876526°		 ← 267.09 m →
71 349 m²		 S 28.996129°
E 21.879272°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73501 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560771942138672 y=0.584217071533203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560771942138672 × 217)
    floor (0.560771942138672 × 131072)
    floor (73501.5)     		tx = 73501
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584217071533203 × 217)
    floor (0.584217071533203 × 131072)
    floor (76574.5)     		ty = 76574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73501 / 76574 ti = "17/73501/76574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73501/76574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73501 ÷ 217
    73501 ÷ 131072     		x = 0.560768127441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76574 ÷ 217
    76574 ÷ 131072     		y = 0.584213256835938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560768127441406 × 2 - 1) × π
    0.121536254882812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38181741
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584213256835938 × 2 - 1) × π
    -0.168426513671875 × 3.1415926535     		Φ = -0.52912749800618
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38181741} λ = 0.38181741}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52912749800618))-π/2
    2×atan(0.589118752793775)-π/2
    2×0.532380162331236-π/2
    1.06476032466247-1.57079632675     		φ = -0.50603600
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38181741} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.876526°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50603600 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.993727°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73501 KachelY 76574 0.38181741 -0.50603600 21.876526 -28.993727
    Oben rechts KachelX + 1 73502 KachelY 76574 0.38186534 -0.50603600 21.879272 -28.993727
    Unten links KachelX 73501 KachelY + 1 76575 0.38181741 -0.50607793 21.876526 -28.996129
    Unten rechts KachelX + 1 73502 KachelY + 1 76575 0.38186534 -0.50607793 21.879272 -28.996129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50603600--0.50607793) × R
    4.19299999999678e-05 × 6371000     		dl = 267.136029999795m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50603600--0.50607793) × R
    4.19299999999678e-05 × 6371000     		dr = 267.136029999795m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38181741-0.38186534) × cos(-0.50603600) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874672780347097 × 6371000     		do = 267.091855792388m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38181741-0.38186534) × cos(-0.50607793) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.874652455526007 × 6371000     		du = 267.08564936376m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50603600)-sin(-0.50607793))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874672780347097-0.874652455526007)×R²
    abs(0.38186534-0.38181741)×2.03248210896012e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03248210896012e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03248210896012e-05×40589641000000     		ar = 71349.0290317605m²