Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73500 / 76604
↖ ↑ ↗
← S 29.065773°
E 21.873779°		 ← 266.96 m → S 29.065773°
E 21.876526°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.068174°
E 21.873779°		 ← 266.95 m →
71 263 m²		 S 29.068174°
E 21.876526°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73500 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76604 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560764312744141 y=0.584445953369141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560764312744141 × 217)
    floor (0.560764312744141 × 131072)
    floor (73500.5)     		tx = 73500
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584445953369141 × 217)
    floor (0.584445953369141 × 131072)
    floor (76604.5)     		ty = 76604
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73500 / 76604 ti = "17/73500/76604"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73500/76604.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73500 ÷ 217
    73500 ÷ 131072     		x = 0.560760498046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76604 ÷ 217
    76604 ÷ 131072     		y = 0.584442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560760498046875 × 2 - 1) × π
    0.12152099609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38176947
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584442138671875 × 2 - 1) × π
    -0.16888427734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.530565604994781
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38176947} λ = 0.38176947}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530565604994781))-π/2
    2×atan(0.58827214589982)-π/2
    2×0.5317514451342-π/2
    1.0635028902684-1.57079632675     		φ = -0.50729344
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38176947} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.873779°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50729344 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.065773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73500 KachelY 76604 0.38176947 -0.50729344 21.873779 -29.065773
    Oben rechts KachelX + 1 73501 KachelY 76604 0.38181741 -0.50729344 21.876526 -29.065773
    Unten links KachelX 73500 KachelY + 1 76605 0.38176947 -0.50733534 21.873779 -29.068174
    Unten rechts KachelX + 1 73501 KachelY + 1 76605 0.38181741 -0.50733534 21.876526 -29.068174
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50729344--0.50733534) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50729344--0.50733534) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38176947-0.38181741) × cos(-0.50729344) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.8740625904133 × 6371000     		do = 266.961213483433m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38176947-0.38181741) × cos(-0.50733534) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874042234067676 × 6371000     		du = 266.954996131507m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50729344)-sin(-0.50733534))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8740625904133-0.874042234067676)×R²
    abs(0.38181741-0.38176947)×2.03563456238065e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03563456238065e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03563456238065e-05×40589641000000     		ar = 71263.1046025742m²