Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7350 / 3757
↖ ↑ ↗
← N 69.310558°
W 18.500977°		 ← 863.22 m → N 69.310558°
W 18.479004°		 →
↑
863.33 m
↓
↑
863.33 m
↓
N 69.302794°
W 18.500977°		 ← 863.53 m →
745 378 m²		 N 69.302794°
W 18.479004°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7350 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3757 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448638916015625 y=0.229339599609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448638916015625 × 214)
    floor (0.448638916015625 × 16384)
    floor (7350.5)     		tx = 7350
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.229339599609375 × 214)
    floor (0.229339599609375 × 16384)
    floor (3757.5)     		ty = 3757
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7350 / 3757 ti = "14/7350/3757"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7350/3757.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7350 ÷ 214
    7350 ÷ 16384     		x = 0.4486083984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3757 ÷ 214
    3757 ÷ 16384     		y = 0.22930908203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4486083984375 × 2 - 1) × π
    -0.102783203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.32290296
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22930908203125 × 2 - 1) × π
    0.5413818359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.70080119851959
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32290296} λ = -0.32290296}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.70080119851959))-π/2
    2×atan(5.47833486765869)-π/2
    2×1.39024688922463-π/2
    2.78049377844926-1.57079632675     		φ = 1.20969745
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32290296} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.500977°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.20969745 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.310558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7350 KachelY 3757 -0.32290296 1.20969745 -18.500977 69.310558
    Oben rechts KachelX + 1 7351 KachelY 3757 -0.32251946 1.20969745 -18.479004 69.310558
    Unten links KachelX 7350 KachelY + 1 3758 -0.32290296 1.20956194 -18.500977 69.302794
    Unten rechts KachelX + 1 7351 KachelY + 1 3758 -0.32251946 1.20956194 -18.479004 69.302794
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.20969745-1.20956194) × R
    0.000135510000000005 × 6371000     		dl = 863.334210000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.20969745-1.20956194) × R
    0.000135510000000005 × 6371000     		dr = 863.334210000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32290296--0.32251946) × cos(1.20969745) × R
    0.000383500000000037 × 0.353302455679201 × 6371000     		do = 863.216293958278m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32290296--0.32251946) × cos(1.20956194) × R
    0.000383500000000037 × 0.353429223280258 × 6371000     		du = 863.526022512436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.20969745)-sin(1.20956194))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.353302455679201-0.353429223280258)×R²
    abs(-0.32251946--0.32290296)×0.000126767601056843×R²
    0.000383500000000037×0.000126767601056843×6371000²
    0.000383500000000037×0.000126767601056843×40589641000000     		ar = 745377.857972533m²