Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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11 / 735 / 888
↖ ↑ ↗
← N 23.241346°
W 50.800782°		 ← 17.960 km → N 23.241346°
W 50.625000°		 →
↑
17.971 km
↓
↑
17.971 km
↓
N 23.079732°
W 50.800782°		 ← 17.982 km →
322.947 km²		 N 23.079732°
W 50.625000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 11 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 735 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 888 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.359130859375 y=0.433837890625 und der Vergrößerungsstufe zoom=11 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.359130859375 × 211)
    floor (0.359130859375 × 2048)
    floor (735.5)     		tx = 735
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433837890625 × 211)
    floor (0.433837890625 × 2048)
    floor (888.5)     		ty = 888
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 11 / 735 / 888 ti = "11/735/888"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/11/735/888.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 735 ÷ 211
    735 ÷ 2048     		x = 0.35888671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 888 ÷ 211
    888 ÷ 2048     		y = 0.43359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.35888671875 × 2 - 1) × π
    -0.2822265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.88664090
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43359375 × 2 - 1) × π
    0.1328125 × 3.1415926535     		Φ = 0.417242774292969
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.88664090} λ = -0.88664090}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.417242774292969))-π/2
    2×atan(1.51777094397829)-π/2
    2×0.988217169433064-π/2
    1.97643433886613-1.57079632675     		φ = 0.40563801
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.88664090} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -50.800782°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40563801 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.241346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 735 KachelY 888 -0.88664090 0.40563801 -50.800782 23.241346
    Oben rechts KachelX + 1 736 KachelY 888 -0.88357293 0.40563801 -50.625000 23.241346
    Unten links KachelX 735 KachelY + 1 889 -0.88664090 0.40281731 -50.800782 23.079732
    Unten rechts KachelX + 1 736 KachelY + 1 889 -0.88357293 0.40281731 -50.625000 23.079732
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40563801-0.40281731) × R
    0.00282070000000001 × 6371000     		dl = 17970.6797000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40563801-0.40281731) × R
    0.00282070000000001 × 6371000     		dr = 17970.6797000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.88664090--0.88357293) × cos(0.40563801) × R
    0.00306796999999992 × 0.91885082221011 × 6371000     		do = 17959.8920489482m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.88664090--0.88357293) × cos(0.40281731) × R
    0.00306796999999992 × 0.9199602279276 × 6371000     		du = 17981.576534006m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40563801)-sin(0.40281731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.91885082221011-0.9199602279276)×R²
    abs(-0.88357293--0.88664090)×0.00110940571749019×R²
    0.00306796999999992×0.00110940571749019×6371000²
    0.00306796999999992×0.00110940571749019×40589641000000     		ar = 322946524.0489m²