Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73499 / 76633
↖ ↑ ↗
← S 29.135369°
E 21.871033°		 ← 266.78 m → S 29.135369°
E 21.873779°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.137768°
E 21.871033°		 ← 266.77 m →
71 164 m²		 S 29.137768°
E 21.873779°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73499 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76633 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560756683349609 y=0.584667205810547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560756683349609 × 217)
    floor (0.560756683349609 × 131072)
    floor (73499.5)     		tx = 73499
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584667205810547 × 217)
    floor (0.584667205810547 × 131072)
    floor (76633.5)     		ty = 76633
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73499 / 76633 ti = "17/73499/76633"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73499/76633.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73499 ÷ 217
    73499 ÷ 131072     		x = 0.560752868652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76633 ÷ 217
    76633 ÷ 131072     		y = 0.584663391113281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560752868652344 × 2 - 1) × π
    0.121505737304688 × 3.1415926535     		Λ = 0.38172153
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584663391113281 × 2 - 1) × π
    -0.169326782226562 × 3.1415926535     		Φ = -0.531955775083763
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38172153} λ = 0.38172153}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531955775083763))-π/2
    2×atan(0.587454915734488)-π/2
    2×0.531144102559392-π/2
    1.06228820511878-1.57079632675     		φ = -0.50850812
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38172153} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.871033°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50850812 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.135369°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73499 KachelY 76633 0.38172153 -0.50850812 21.871033 -29.135369
    Oben rechts KachelX + 1 73500 KachelY 76633 0.38176947 -0.50850812 21.873779 -29.135369
    Unten links KachelX 73499 KachelY + 1 76634 0.38172153 -0.50854999 21.871033 -29.137768
    Unten rechts KachelX + 1 73500 KachelY + 1 76634 0.38176947 -0.50854999 21.873779 -29.137768
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50850812--0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50850812--0.50854999) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38172153-0.38176947) × cos(-0.50850812) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873471838010532 × 6371000     		do = 266.780782493661m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38172153-0.38176947) × cos(-0.50854999) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873451451802296 × 6371000     		du = 266.774556020925m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50850812)-sin(-0.50854999))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873471838010532-0.873451451802296)×R²
    abs(0.38176947-0.38172153)×2.03862082356343e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03862082356343e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03862082356343e-05×40589641000000     		ar = 71163.9490366927m²