Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73498 / 76630
↖ ↑ ↗
← S 29.128172°
E 21.868286°		 ← 266.80 m → S 29.128172°
E 21.871033°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.130571°
E 21.868286°		 ← 266.79 m →
71 186 m²		 S 29.130571°
E 21.871033°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73498 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76630 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560749053955078 y=0.584644317626953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560749053955078 × 217)
    floor (0.560749053955078 × 131072)
    floor (73498.5)     		tx = 73498
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584644317626953 × 217)
    floor (0.584644317626953 × 131072)
    floor (76630.5)     		ty = 76630
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73498 / 76630 ti = "17/73498/76630"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73498/76630.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73498 ÷ 217
    73498 ÷ 131072     		x = 0.560745239257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76630 ÷ 217
    76630 ÷ 131072     		y = 0.584640502929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560745239257812 × 2 - 1) × π
    0.121490478515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38167359
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584640502929688 × 2 - 1) × π
    -0.169281005859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531811964384903
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38167359} λ = 0.38167359}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531811964384903))-π/2
    2×atan(0.58753940411149)-π/2
    2×0.531206912055763-π/2
    1.06241382411153-1.57079632675     		φ = -0.50838250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38167359} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.868286°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50838250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.128172°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73498 KachelY 76630 0.38167359 -0.50838250 21.868286 -29.128172
    Oben rechts KachelX + 1 73499 KachelY 76630 0.38172153 -0.50838250 21.871033 -29.128172
    Unten links KachelX 73498 KachelY + 1 76631 0.38167359 -0.50842438 21.868286 -29.130571
    Unten rechts KachelX + 1 73499 KachelY + 1 76631 0.38172153 -0.50842438 21.871033 -29.130571
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50838250--0.50842438) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50838250--0.50842438) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38167359-0.38172153) × cos(-0.50838250) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873532992315061 × 6371000     		do = 266.799460592067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38167359-0.38172153) × cos(-0.50842438) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873512605833125 × 6371000     		du = 266.793234035736m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50838250)-sin(-0.50842438))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873532992315061-0.873512605833125)×R²
    abs(0.38172153-0.38167359)×2.03864819355859e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03864819355859e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03864819355859e-05×40589641000000     		ar = 71185.9290739046m²