Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73496 / 76632
↖ ↑ ↗
← S 29.132970°
E 21.862793°		 ← 266.79 m → S 29.132970°
E 21.865540°		 →
↑
266.75 m
↓
↑
266.75 m
↓
S 29.135369°
E 21.862793°		 ← 266.78 m →
71 166 m²		 S 29.135369°
E 21.865540°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73496 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560733795166016 y=0.584659576416016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560733795166016 × 217)
    floor (0.560733795166016 × 131072)
    floor (73496.5)     		tx = 73496
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584659576416016 × 217)
    floor (0.584659576416016 × 131072)
    floor (76632.5)     		ty = 76632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73496 / 76632 ti = "17/73496/76632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73496/76632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73496 ÷ 217
    73496 ÷ 131072     		x = 0.56072998046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76632 ÷ 217
    76632 ÷ 131072     		y = 0.58465576171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56072998046875 × 2 - 1) × π
    0.1214599609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38157772
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.58465576171875 × 2 - 1) × π
    -0.1693115234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.531907838184143
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38157772} λ = 0.38157772}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531907838184143))-π/2
    2×atan(0.587483077176796)-π/2
    2×0.53116503856959-π/2
    1.06233007713918-1.57079632675     		φ = -0.50846625
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38157772} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.862793°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50846625 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.132970°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73496 KachelY 76632 0.38157772 -0.50846625 21.862793 -29.132970
    Oben rechts KachelX + 1 73497 KachelY 76632 0.38162566 -0.50846625 21.865540 -29.132970
    Unten links KachelX 73496 KachelY + 1 76633 0.38157772 -0.50850812 21.862793 -29.135369
    Unten rechts KachelX + 1 73497 KachelY + 1 76633 0.38162566 -0.50850812 21.865540 -29.135369
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50846625--0.50850812) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dl = 266.753769999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50846625--0.50850812) × R
    4.18699999999994e-05 × 6371000     		dr = 266.753769999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38157772-0.38162566) × cos(-0.50846625) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873492222687487 × 6371000     		do = 266.787008498395m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38157772-0.38162566) × cos(-0.50850812) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873471838010532 × 6371000     		du = 266.780782493352m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50846625)-sin(-0.50850812))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873492222687487-0.873471838010532)×R²
    abs(0.38162566-0.38157772)×2.03846769548655e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03846769548655e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03846769548655e-05×40589641000000     		ar = 71165.6099091615m²