Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73494 / 76654
↖ ↑ ↗
← S 29.185737°
E 21.857300°		 ← 266.59 m → S 29.185737°
E 21.860046°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 29.188135°
E 21.857300°		 ← 266.59 m →
71 080 m²		 S 29.188135°
E 21.860046°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73494 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76654 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560718536376953 y=0.584827423095703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560718536376953 × 217)
    floor (0.560718536376953 × 131072)
    floor (73494.5)     		tx = 73494
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584827423095703 × 217)
    floor (0.584827423095703 × 131072)
    floor (76654.5)     		ty = 76654
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73494 / 76654 ti = "17/73494/76654"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73494/76654.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73494 ÷ 217
    73494 ÷ 131072     		x = 0.560714721679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76654 ÷ 217
    76654 ÷ 131072     		y = 0.584823608398438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560714721679688 × 2 - 1) × π
    0.121429443359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38148185
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584823608398438 × 2 - 1) × π
    -0.169647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.532962449975784
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38148185} λ = 0.38148185}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532962449975784))-π/2
    2×atan(0.586863837182509)-π/2
    2×0.530704559256602-π/2
    1.0614091185132-1.57079632675     		φ = -0.50938721
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38148185} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.857300°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50938721 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.185737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73494 KachelY 76654 0.38148185 -0.50938721 21.857300 -29.185737
    Oben rechts KachelX + 1 73495 KachelY 76654 0.38152978 -0.50938721 21.860046 -29.185737
    Unten links KachelX 73494 KachelY + 1 76655 0.38148185 -0.50942906 21.857300 -29.188135
    Unten rechts KachelX + 1 73495 KachelY + 1 76655 0.38152978 -0.50942906 21.860046 -29.188135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50938721--0.50942906) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50938721--0.50942906) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38148185-0.38152978) × cos(-0.50938721) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873043493899315 × 6371000     		do = 266.594333575242m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38148185-0.38152978) × cos(-0.50942906) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873023085302601 × 6371000     		du = 266.58810156472m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50938721)-sin(-0.50942906))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873043493899315-0.873023085302601)×R²
    abs(0.38152978-0.38148185)×2.04085967144829e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04085967144829e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04085967144829e-05×40589641000000     		ar = 71080.2432931268m²