Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73493 / 76595
↖ ↑ ↗
← S 29.044165°
E 21.854553°		 ← 267.02 m → S 29.044165°
E 21.857300°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.046566°
E 21.854553°		 ← 267.01 m →
71 295 m²		 S 29.046566°
E 21.857300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560710906982422 y=0.584377288818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560710906982422 × 217)
    floor (0.560710906982422 × 131072)
    floor (73493.5)     		tx = 73493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584377288818359 × 217)
    floor (0.584377288818359 × 131072)
    floor (76595.5)     		ty = 76595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73493 / 76595 ti = "17/73493/76595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73493/76595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73493 ÷ 217
    73493 ÷ 131072     		x = 0.560707092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76595 ÷ 217
    76595 ÷ 131072     		y = 0.584373474121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560707092285156 × 2 - 1) × π
    0.121414184570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.38143391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584373474121094 × 2 - 1) × π
    -0.168746948242188 × 3.1415926535     		Φ = -0.530134172898201
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38143391} λ = 0.38143391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530134172898201))-π/2
    2×atan(0.588526000141582)-π/2
    2×0.531940014218979-π/2
    1.06388002843796-1.57079632675     		φ = -0.50691630
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38143391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.854553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50691630 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.044165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73493 KachelY 76595 0.38143391 -0.50691630 21.854553 -29.044165
    Oben rechts KachelX + 1 73494 KachelY 76595 0.38148185 -0.50691630 21.857300 -29.044165
    Unten links KachelX 73493 KachelY + 1 76596 0.38143391 -0.50695821 21.854553 -29.046566
    Unten rechts KachelX + 1 73494 KachelY + 1 76596 0.38148185 -0.50695821 21.857300 -29.046566
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50691630--0.50695821) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50691630--0.50695821) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38143391-0.38148185) × cos(-0.50691630) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874245747885887 × 6371000     		do = 267.017154490035m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38143391-0.38148185) × cos(-0.50695821) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874225400498429 × 6371000     		du = 267.010939874163m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50691630)-sin(-0.50695821))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874245747885887-0.874225400498429)×R²
    abs(0.38148185-0.38143391)×2.03473874579307e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03473874579307e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03473874579307e-05×40589641000000     		ar = 71295.0495988671m²