Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73493 / 76589
↖ ↑ ↗
← S 29.029756°
E 21.854553°		 ← 267.05 m → S 29.029756°
E 21.857300°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.032158°
E 21.854553°		 ← 267.05 m →
71 305 m²		 S 29.032158°
E 21.857300°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73493 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76589 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560710906982422 y=0.584331512451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560710906982422 × 217)
    floor (0.560710906982422 × 131072)
    floor (73493.5)     		tx = 73493
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584331512451172 × 217)
    floor (0.584331512451172 × 131072)
    floor (76589.5)     		ty = 76589
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73493 / 76589 ti = "17/73493/76589"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73493/76589.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73493 ÷ 217
    73493 ÷ 131072     		x = 0.560707092285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76589 ÷ 217
    76589 ÷ 131072     		y = 0.584327697753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560707092285156 × 2 - 1) × π
    0.121414184570312 × 3.1415926535     		Λ = 0.38143391
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584327697753906 × 2 - 1) × π
    -0.168655395507812 × 3.1415926535     		Φ = -0.529846551500481
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38143391} λ = 0.38143391}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529846551500481))-π/2
    2×atan(0.588695297157893)-π/2
    2×0.532065748888054-π/2
    1.06413149777611-1.57079632675     		φ = -0.50666483
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38143391} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.854553°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50666483 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.029756°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73493 KachelY 76589 0.38143391 -0.50666483 21.854553 -29.029756
    Oben rechts KachelX + 1 73494 KachelY 76589 0.38148185 -0.50666483 21.857300 -29.029756
    Unten links KachelX 73493 KachelY + 1 76590 0.38143391 -0.50670674 21.854553 -29.032158
    Unten rechts KachelX + 1 73494 KachelY + 1 76590 0.38148185 -0.50670674 21.857300 -29.032158
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50666483--0.50670674) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dl = 267.008610000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50666483--0.50670674) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dr = 267.008610000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38143391-0.38148185) × cos(-0.50666483) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874367804815109 × 6371000     		do = 267.054433817964m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38143391-0.38148185) × cos(-0.50670674) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874347466641957 × 6371000     		du = 267.048222016379m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50666483)-sin(-0.50670674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874367804815109-0.874347466641957)×R²
    abs(0.38148185-0.38143391)×2.03381731518348e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03381731518348e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03381731518348e-05×40589641000000     		ar = 71305.0038764632m²