Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73491 / 76659
↖ ↑ ↗
← S 29.197726°
E 21.849060°		 ← 266.56 m → S 29.197726°
E 21.851806°		 →
↑
266.63 m
↓
↑
266.63 m
↓
S 29.200124°
E 21.849060°		 ← 266.56 m →
71 072 m²		 S 29.200124°
E 21.851806°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73491 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560695648193359 y=0.584865570068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560695648193359 × 217)
    floor (0.560695648193359 × 131072)
    floor (73491.5)     		tx = 73491
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584865570068359 × 217)
    floor (0.584865570068359 × 131072)
    floor (76659.5)     		ty = 76659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73491 / 76659 ti = "17/73491/76659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73491/76659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73491 ÷ 217
    73491 ÷ 131072     		x = 0.560691833496094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76659 ÷ 217
    76659 ÷ 131072     		y = 0.584861755371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560691833496094 × 2 - 1) × π
    0.121383666992188 × 3.1415926535     		Λ = 0.38133804
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584861755371094 × 2 - 1) × π
    -0.169723510742188 × 3.1415926535     		Φ = -0.533202134473885
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38133804} λ = 0.38133804}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.533202134473885))-π/2
    2×atan(0.586723191874164)-π/2
    2×0.530599937875646-π/2
    1.06119987575129-1.57079632675     		φ = -0.50959645
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38133804} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.849060°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50959645 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.197726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73491 KachelY 76659 0.38133804 -0.50959645 21.849060 -29.197726
    Oben rechts KachelX + 1 73492 KachelY 76659 0.38138597 -0.50959645 21.851806 -29.197726
    Unten links KachelX 73491 KachelY + 1 76660 0.38133804 -0.50963830 21.849060 -29.200124
    Unten rechts KachelX + 1 73492 KachelY + 1 76660 0.38138597 -0.50963830 21.851806 -29.200124
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50959645--0.50963830) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dl = 266.626350000063m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50959645--0.50963830) × R
    4.18500000000099e-05 × 6371000     		dr = 266.626350000063m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38133804-0.38138597) × cos(-0.50959645) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872941440504028 × 6371000     		do = 266.563170343597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38133804-0.38138597) × cos(-0.50963830) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.872921024262875 × 6371000     		du = 266.556935998754m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50959645)-sin(-0.50963830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872941440504028-0.872921024262875)×R²
    abs(0.38138597-0.38133804)×2.04162411530096e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.04162411530096e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.04162411530096e-05×40589641000000     		ar = 71071.9340432605m²