Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73490 / 76586
↖ ↑ ↗
← S 29.022551°
E 21.846314°		 ← 267.07 m → S 29.022551°
E 21.849060°		 →
↑
267.07 m
↓
↑
267.07 m
↓
S 29.024953°
E 21.846314°		 ← 267.07 m →
71 327 m²		 S 29.024953°
E 21.849060°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73490 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76586 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560688018798828 y=0.584308624267578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560688018798828 × 217)
    floor (0.560688018798828 × 131072)
    floor (73490.5)     		tx = 73490
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584308624267578 × 217)
    floor (0.584308624267578 × 131072)
    floor (76586.5)     		ty = 76586
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73490 / 76586 ti = "17/73490/76586"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73490/76586.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73490 ÷ 217
    73490 ÷ 131072     		x = 0.560684204101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76586 ÷ 217
    76586 ÷ 131072     		y = 0.584304809570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560684204101562 × 2 - 1) × π
    0.121368408203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38129010
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584304809570312 × 2 - 1) × π
    -0.168609619140625 × 3.1415926535     		Φ = -0.52970274080162
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38129010} λ = 0.38129010}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.52970274080162))-π/2
    2×atan(0.588779963927841)-π/2
    2×0.532128622804296-π/2
    1.06425724560859-1.57079632675     		φ = -0.50653908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38129010} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.846314°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50653908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.022551°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73490 KachelY 76586 0.38129010 -0.50653908 21.846314 -29.022551
    Oben rechts KachelX + 1 73491 KachelY 76586 0.38133804 -0.50653908 21.849060 -29.022551
    Unten links KachelX 73490 KachelY + 1 76587 0.38129010 -0.50658100 21.846314 -29.024953
    Unten rechts KachelX + 1 73491 KachelY + 1 76587 0.38133804 -0.50658100 21.849060 -29.024953
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50653908--0.50658100) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dl = 267.072319999475m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50653908--0.50658100) × R
    4.19199999999176e-05 × 6371000     		dr = 267.072319999475m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38129010-0.38133804) × cos(-0.50653908) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874428819822808 × 6371000     		do = 267.073069371533m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38129010-0.38133804) × cos(-0.50658100) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874408481405937 × 6371000     		du = 267.066857495509m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50653908)-sin(-0.50658100))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874428819822808-0.874408481405937)×R²
    abs(0.38133804-0.38129010)×2.03384168714349e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03384168714349e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03384168714349e-05×40589641000000     		ar = 71326.9947468418m²