Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7349 / 5773
↖ ↑ ↗
← N 46.845165°
W 18.522949°		 ← 1 671.09 m → N 46.845165°
W 18.500977°		 →
↑
1 671.37 m
↓
↑
1 671.37 m
↓
N 46.830134°
W 18.522949°		 ← 1 671.56 m →
2 793 399 m²		 N 46.830134°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5773 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448577880859375 y=0.352386474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448577880859375 × 214)
    floor (0.448577880859375 × 16384)
    floor (7349.5)     		tx = 7349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352386474609375 × 214)
    floor (0.352386474609375 × 16384)
    floor (5773.5)     		ty = 5773
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7349 / 5773 ti = "14/7349/5773"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7349/5773.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7349 ÷ 214
    7349 ÷ 16384     		x = 0.44854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5773 ÷ 214
    5773 ÷ 16384     		y = 0.35235595703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35235595703125 × 2 - 1) × π
    0.2952880859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.927674881447327
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32328645} λ = -0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.927674881447327))-π/2
    2×atan(2.52862298900205)-π/2
    2×1.19419934236175-π/2
    2.3883986847235-1.57079632675     		φ = 0.81760236
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81760236 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.845165°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7349 KachelY 5773 -0.32328645 0.81760236 -18.522949 46.845165
    Oben rechts KachelX + 1 7350 KachelY 5773 -0.32290296 0.81760236 -18.500977 46.845165
    Unten links KachelX 7349 KachelY + 1 5774 -0.32328645 0.81734002 -18.522949 46.830134
    Unten rechts KachelX + 1 7350 KachelY + 1 5774 -0.32290296 0.81734002 -18.500977 46.830134
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81760236-0.81734002) × R
    0.000262340000000028 × 6371000     		dl = 1671.36814000018m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81760236-0.81734002) × R
    0.000262340000000028 × 6371000     		dr = 1671.36814000018m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32328645--0.32290296) × cos(0.81760236) × R
    0.000383489999999986 × 0.683972269161269 × 6371000     		do = 1671.09116396461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32328645--0.32290296) × cos(0.81734002) × R
    0.000383489999999986 × 0.684163624753859 × 6371000     		du = 1671.55868677858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81760236)-sin(0.81734002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683972269161269-0.684163624753859)×R²
    abs(-0.32290296--0.32328645)×0.000191355592590203×R²
    0.000383489999999986×0.000191355592590203×6371000²
    0.000383489999999986×0.000191355592590203×40589641000000     		ar = 2793399.24787536m²