Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7349 / 4468
↖ ↑ ↗
← N 63.035039°
W 18.522949°		 ← 1 107.86 m → N 63.035039°
W 18.500977°		 →
↑
1 108.04 m
↓
↑
1 108.04 m
↓
N 63.025074°
W 18.522949°		 ← 1 108.24 m →
1 227 773 m²		 N 63.025074°
W 18.500977°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7349 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448577880859375 y=0.272735595703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448577880859375 × 214)
    floor (0.448577880859375 × 16384)
    floor (7349.5)     		tx = 7349
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272735595703125 × 214)
    floor (0.272735595703125 × 16384)
    floor (4468.5)     		ty = 4468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7349 / 4468 ti = "14/7349/4468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7349/4468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7349 ÷ 214
    7349 ÷ 16384     		x = 0.44854736328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4468 ÷ 214
    4468 ÷ 16384     		y = 0.272705078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44854736328125 × 2 - 1) × π
    -0.1029052734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.32328645
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.272705078125 × 2 - 1) × π
    0.45458984375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42813611348071
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32328645} λ = -0.32328645}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42813611348071))-π/2
    2×atan(4.17091782487659)-π/2
    2×1.33548265347823-π/2
    2.67096530695645-1.57079632675     		φ = 1.10016898
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32328645} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.522949°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.10016898 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.035039°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7349 KachelY 4468 -0.32328645 1.10016898 -18.522949 63.035039
    Oben rechts KachelX + 1 7350 KachelY 4468 -0.32290296 1.10016898 -18.500977 63.035039
    Unten links KachelX 7349 KachelY + 1 4469 -0.32328645 1.09999506 -18.522949 63.025074
    Unten rechts KachelX + 1 7350 KachelY + 1 4469 -0.32290296 1.09999506 -18.500977 63.025074
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.10016898-1.09999506) × R
    0.000173920000000161 × 6371000     		dl = 1108.04432000102m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.10016898-1.09999506) × R
    0.000173920000000161 × 6371000     		dr = 1108.04432000102m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32328645--0.32290296) × cos(1.10016898) × R
    0.000383489999999986 × 0.453445518730545 × 6371000     		do = 1107.86479782165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32328645--0.32290296) × cos(1.09999506) × R
    0.000383489999999986 × 0.453600523984401 × 6371000     		du = 1108.2435089504m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.10016898)-sin(1.09999506))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453445518730545-0.453600523984401)×R²
    abs(-0.32290296--0.32328645)×0.000155005253856977×R²
    0.000383489999999986×0.000155005253856977×6371000²
    0.000383489999999986×0.000155005253856977×40589641000000     		ar = 1227773.11400736m²