Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73489 / 76593
↖ ↑ ↗
← S 29.039362°
E 21.843567°		 ← 267.03 m → S 29.039362°
E 21.846314°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.041763°
E 21.843567°		 ← 267.02 m →
71 298 m²		 S 29.041763°
E 21.846314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76593 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560680389404297 y=0.584362030029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560680389404297 × 217)
    floor (0.560680389404297 × 131072)
    floor (73489.5)     		tx = 73489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584362030029297 × 217)
    floor (0.584362030029297 × 131072)
    floor (76593.5)     		ty = 76593
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73489 / 76593 ti = "17/73489/76593"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73489/76593.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73489 ÷ 217
    73489 ÷ 131072     		x = 0.560676574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76593 ÷ 217
    76593 ÷ 131072     		y = 0.584358215332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560676574707031 × 2 - 1) × π
    0.121353149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38124216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584358215332031 × 2 - 1) × π
    -0.168716430664062 × 3.1415926535     		Φ = -0.530038299098961
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38124216} λ = 0.38124216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530038299098961))-π/2
    2×atan(0.588582427070056)-π/2
    2×0.531981923824965-π/2
    1.06396384764993-1.57079632675     		φ = -0.50683248
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38124216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.843567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50683248 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.039362°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73489 KachelY 76593 0.38124216 -0.50683248 21.843567 -29.039362
    Oben rechts KachelX + 1 73490 KachelY 76593 0.38129010 -0.50683248 21.846314 -29.039362
    Unten links KachelX 73489 KachelY + 1 76594 0.38124216 -0.50687439 21.843567 -29.041763
    Unten rechts KachelX + 1 73490 KachelY + 1 76594 0.38129010 -0.50687439 21.846314 -29.041763
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50683248--0.50687439) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dl = 267.008609999862m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50683248--0.50687439) × R
    4.19099999999784e-05 × 6371000     		dr = 267.008609999862m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38124216-0.38129010) × cos(-0.50683248) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874286438054065 × 6371000     		do = 267.029582314761m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38124216-0.38129010) × cos(-0.50687439) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874266093737778 × 6371000     		du = 267.023368636904m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50683248)-sin(-0.50687439))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874286438054065-0.874266093737778)×R²
    abs(0.38129010-0.38124216)×2.03443162877237e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03443162877237e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03443162877237e-05×40589641000000     		ar = 71298.3680604584m²