Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73489 / 76587
↖ ↑ ↗
← S 29.024953°
E 21.843567°		 ← 267.07 m → S 29.024953°
E 21.846314°		 →
↑
267.01 m
↓
↑
267.01 m
↓
S 29.027355°
E 21.843567°		 ← 267.06 m →
71 308 m²		 S 29.027355°
E 21.846314°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73489 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76587 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560680389404297 y=0.584316253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560680389404297 × 217)
    floor (0.560680389404297 × 131072)
    floor (73489.5)     		tx = 73489
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584316253662109 × 217)
    floor (0.584316253662109 × 131072)
    floor (76587.5)     		ty = 76587
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73489 / 76587 ti = "17/73489/76587"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73489/76587.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73489 ÷ 217
    73489 ÷ 131072     		x = 0.560676574707031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76587 ÷ 217
    76587 ÷ 131072     		y = 0.584312438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560676574707031 × 2 - 1) × π
    0.121353149414062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38124216
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584312438964844 × 2 - 1) × π
    -0.168624877929688 × 3.1415926535     		Φ = -0.529750677701241
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38124216} λ = 0.38124216}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.529750677701241))-π/2
    2×atan(0.588751740318293)-π/2
    2×0.53210766434475-π/2
    1.0642153286895-1.57079632675     		φ = -0.50658100
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38124216} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.843567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50658100 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.024953°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73489 KachelY 76587 0.38124216 -0.50658100 21.843567 -29.024953
    Oben rechts KachelX + 1 73490 KachelY 76587 0.38129010 -0.50658100 21.846314 -29.024953
    Unten links KachelX 73489 KachelY + 1 76588 0.38124216 -0.50662291 21.843567 -29.027355
    Unten rechts KachelX + 1 73490 KachelY + 1 76588 0.38129010 -0.50662291 21.846314 -29.027355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50658100--0.50662291) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dl = 267.008610000569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50658100--0.50662291) × R
    4.19100000000894e-05 × 6371000     		dr = 267.008610000569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38124216-0.38129010) × cos(-0.50658100) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874408481405937 × 6371000     		do = 267.066857495819m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38124216-0.38129010) × cos(-0.50662291) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.874388146304751 × 6371000     		du = 267.060646632491m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50658100)-sin(-0.50662291))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874408481405937-0.874388146304751)×R²
    abs(0.38129010-0.38124216)×2.0335101186375e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0335101186375e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0335101186375e-05×40589641000000     		ar = 71308.3212305526m²