Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73488 / 76624
↖ ↑ ↗
← S 29.113775°
E 21.840821°		 ← 266.78 m → S 29.113775°
E 21.843567°		 →
↑
266.82 m
↓
↑
266.82 m
↓
S 29.116175°
E 21.840821°		 ← 266.77 m →
71 181 m²		 S 29.116175°
E 21.843567°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73488 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76624 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560672760009766 y=0.584598541259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560672760009766 × 217)
    floor (0.560672760009766 × 131072)
    floor (73488.5)     		tx = 73488
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584598541259766 × 217)
    floor (0.584598541259766 × 131072)
    floor (76624.5)     		ty = 76624
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73488 / 76624 ti = "17/73488/76624"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73488/76624.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73488 ÷ 217
    73488 ÷ 131072     		x = 0.5606689453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76624 ÷ 217
    76624 ÷ 131072     		y = 0.5845947265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5606689453125 × 2 - 1) × π
    0.121337890625 × 3.1415926535     		Λ = 0.38119423
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.5845947265625 × 2 - 1) × π
    -0.169189453125 × 3.1415926535     		Φ = -0.531524342987183
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38119423} λ = 0.38119423}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.531524342987183))-π/2
    2×atan(0.587708417320859)-π/2
    2×0.531332544238655-π/2
    1.06266508847731-1.57079632675     		φ = -0.50813124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38119423} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.840821°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50813124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.113775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73488 KachelY 76624 0.38119423 -0.50813124 21.840821 -29.113775
    Oben rechts KachelX + 1 73489 KachelY 76624 0.38124216 -0.50813124 21.843567 -29.113775
    Unten links KachelX 73488 KachelY + 1 76625 0.38119423 -0.50817312 21.840821 -29.116175
    Unten rechts KachelX + 1 73489 KachelY + 1 76625 0.38124216 -0.50817312 21.843567 -29.116175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50813124--0.50817312) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dl = 266.817480000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50813124--0.50817312) × R
    4.18800000000497e-05 × 6371000     		dr = 266.817480000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38119423-0.38124216) × cos(-0.50813124) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873655269300004 × 6371000     		do = 266.7811465535m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38119423-0.38124216) × cos(-0.50817312) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.87363489201059 × 6371000     		du = 266.774924103039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50813124)-sin(-0.50817312))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873655269300004-0.87363489201059)×R²
    abs(0.38124216-0.38119423)×2.03772894137311e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03772894137311e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03772894137311e-05×40589641000000     		ar = 71181.0431161353m²