Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73487 / 76612
↖ ↑ ↗
← S 29.084976°
E 21.838074°		 ← 266.91 m → S 29.084976°
E 21.840821°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.087377°
E 21.838074°		 ← 266.91 m →
71 250 m²		 S 29.087377°
E 21.840821°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73487 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76612 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560665130615234 y=0.584506988525391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560665130615234 × 217)
    floor (0.560665130615234 × 131072)
    floor (73487.5)     		tx = 73487
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584506988525391 × 217)
    floor (0.584506988525391 × 131072)
    floor (76612.5)     		ty = 76612
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73487 / 76612 ti = "17/73487/76612"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73487/76612.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73487 ÷ 217
    73487 ÷ 131072     		x = 0.560661315917969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76612 ÷ 217
    76612 ÷ 131072     		y = 0.584503173828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560661315917969 × 2 - 1) × π
    0.121322631835938 × 3.1415926535     		Λ = 0.38114629
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584503173828125 × 2 - 1) × π
    -0.16900634765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.530949100191742
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38114629} λ = 0.38114629}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530949100191742))-π/2
    2×atan(0.588046589610004)-π/2
    2×0.531583861345889-π/2
    1.06316772269178-1.57079632675     		φ = -0.50762860
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38114629} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.838074°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50762860 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.084976°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73487 KachelY 76612 0.38114629 -0.50762860 21.838074 -29.084976
    Oben rechts KachelX + 1 73488 KachelY 76612 0.38119423 -0.50762860 21.840821 -29.084976
    Unten links KachelX 73487 KachelY + 1 76613 0.38114629 -0.50767050 21.838074 -29.087377
    Unten rechts KachelX + 1 73488 KachelY + 1 76613 0.38119423 -0.50767050 21.840821 -29.087377
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50762860--0.50767050) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dl = 266.944900000249m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50762860--0.50767050) × R
    4.19000000000391e-05 × 6371000     		dr = 266.944900000249m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38114629-0.38119423) × cos(-0.50762860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		do = 266.911467484684m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38114629-0.38119423) × cos(-0.50767050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873879347510222 × 6371000     		du = 266.905246384161m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50762860)-sin(-0.50767050))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873899716129198-0.873879347510222)×R²
    abs(0.38119423-0.38114629)×2.0368618976585e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.0368618976585e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.0368618976585e-05×40589641000000     		ar = 71249.8246615469m²