Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 73486 / 76611
↖ ↑ ↗
← S 29.082576°
E 21.835327°		 ← 266.92 m → S 29.082576°
E 21.838074°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.084976°
E 21.835327°		 ← 266.91 m →
71 234 m²		 S 29.084976°
E 21.838074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73486 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560657501220703 y=0.584499359130859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560657501220703 × 217)
    floor (0.560657501220703 × 131072)
    floor (73486.5)     		tx = 73486
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584499359130859 × 217)
    floor (0.584499359130859 × 131072)
    floor (76611.5)     		ty = 76611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73486 / 76611 ti = "17/73486/76611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73486/76611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73486 ÷ 217
    73486 ÷ 131072     		x = 0.560653686523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76611 ÷ 217
    76611 ÷ 131072     		y = 0.584495544433594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560653686523438 × 2 - 1) × π
    0.121307373046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38109835
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584495544433594 × 2 - 1) × π
    -0.168991088867188 × 3.1415926535     		Φ = -0.530901163292122
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38109835} λ = 0.38109835}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530901163292122))-π/2
    2×atan(0.588074779416002)-π/2
    2×0.531604807611369-π/2
    1.06320961522274-1.57079632675     		φ = -0.50758671
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38109835} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.835327°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50758671 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.082576°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73486 KachelY 76611 0.38109835 -0.50758671 21.835327 -29.082576
    Oben rechts KachelX + 1 73487 KachelY 76611 0.38114629 -0.50758671 21.838074 -29.082576
    Unten links KachelX 73486 KachelY + 1 76612 0.38109835 -0.50762860 21.835327 -29.084976
    Unten rechts KachelX + 1 73487 KachelY + 1 76612 0.38114629 -0.50762860 21.838074 -29.084976
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50758671--0.50762860) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50758671--0.50762860) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38109835-0.38114629) × cos(-0.50758671) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873920078353251 × 6371000     		do = 266.917686632034m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38109835-0.38114629) × cos(-0.50762860) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.873899716129198 × 6371000     		du = 266.911467484684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50758671)-sin(-0.50762860))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873920078353251-0.873899716129198)×R²
    abs(0.38114629-0.38109835)×2.03622240531054e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.03622240531054e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.03622240531054e-05×40589641000000     		ar = 71234.479964117m²