Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73485 / 76652
↖ ↑ ↗
← S 29.180941°
E 21.832581°		 ← 266.61 m → S 29.180941°
E 21.835327°		 →
↑
266.69 m
↓
↑
266.69 m
↓
S 29.183339°
E 21.832581°		 ← 266.60 m →
71 101 m²		 S 29.183339°
E 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76652 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560649871826172 y=0.584812164306641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560649871826172 × 217)
    floor (0.560649871826172 × 131072)
    floor (73485.5)     		tx = 73485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584812164306641 × 217)
    floor (0.584812164306641 × 131072)
    floor (76652.5)     		ty = 76652
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73485 / 76652 ti = "17/73485/76652"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73485/76652.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73485 ÷ 217
    73485 ÷ 131072     		x = 0.560646057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76652 ÷ 217
    76652 ÷ 131072     		y = 0.584808349609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560646057128906 × 2 - 1) × π
    0.121292114257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38105042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584808349609375 × 2 - 1) × π
    -0.16961669921875 × 3.1415926535     		Φ = -0.532866576176544
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38105042} λ = 0.38105042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.532866576176544))-π/2
    2×atan(0.586920104745466)-π/2
    2×0.530746411233251-π/2
    1.0614928224665-1.57079632675     		φ = -0.50930350
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38105042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.832581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50930350 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.180941°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73485 KachelY 76652 0.38105042 -0.50930350 21.832581 -29.180941
    Oben rechts KachelX + 1 73486 KachelY 76652 0.38109835 -0.50930350 21.835327 -29.180941
    Unten links KachelX 73485 KachelY + 1 76653 0.38105042 -0.50934536 21.832581 -29.183339
    Unten rechts KachelX + 1 73486 KachelY + 1 76653 0.38109835 -0.50934536 21.835327 -29.183339
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50930350--0.50934536) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dl = 266.690059999676m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50930350--0.50934536) × R
    4.18599999999492e-05 × 6371000     		dr = 266.690059999676m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38105042-0.38109835) × cos(-0.50930350) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873084311381197 × 6371000     		do = 266.606797684369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38105042-0.38109835) × cos(-0.50934536) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873063900966962 × 6371000     		du = 266.600565118845m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50930350)-sin(-0.50934536))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873084311381197-0.873063900966962)×R²
    abs(0.38109835-0.38105042)×2.04104142352834e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.04104142352834e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.04104142352834e-05×40589641000000     		ar = 71100.5517994452m²