Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73485 / 76610
↖ ↑ ↗
← S 29.080176°
E 21.832581°		 ← 266.87 m → S 29.080176°
E 21.835327°		 →
↑
266.88 m
↓
↑
266.88 m
↓
S 29.082576°
E 21.832581°		 ← 266.86 m →
71 221 m²		 S 29.082576°
E 21.835327°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73485 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76610 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560649871826172 y=0.584491729736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560649871826172 × 217)
    floor (0.560649871826172 × 131072)
    floor (73485.5)     		tx = 73485
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584491729736328 × 217)
    floor (0.584491729736328 × 131072)
    floor (76610.5)     		ty = 76610
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73485 / 76610 ti = "17/73485/76610"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73485/76610.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73485 ÷ 217
    73485 ÷ 131072     		x = 0.560646057128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76610 ÷ 217
    76610 ÷ 131072     		y = 0.584487915039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560646057128906 × 2 - 1) × π
    0.121292114257812 × 3.1415926535     		Λ = 0.38105042
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584487915039062 × 2 - 1) × π
    -0.168975830078125 × 3.1415926535     		Φ = -0.530853226392502
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38105042} λ = 0.38105042}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530853226392502))-π/2
    2×atan(0.588102970573365)-π/2
    2×0.531625754364916-π/2
    1.06325150872983-1.57079632675     		φ = -0.50754482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38105042} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.832581°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50754482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.080176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73485 KachelY 76610 0.38105042 -0.50754482 21.832581 -29.080176
    Oben rechts KachelX + 1 73486 KachelY 76610 0.38109835 -0.50754482 21.835327 -29.080176
    Unten links KachelX 73485 KachelY + 1 76611 0.38105042 -0.50758671 21.832581 -29.082576
    Unten rechts KachelX + 1 73486 KachelY + 1 76611 0.38109835 -0.50758671 21.835327 -29.082576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50754482--0.50758671) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dl = 266.881189999929m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50754482--0.50758671) × R
    4.18899999999889e-05 × 6371000     		dr = 266.881189999929m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38105042-0.38109835) × cos(-0.50754482) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873940439043774 × 6371000     		do = 266.868226565352m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38105042-0.38109835) × cos(-0.50758671) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.873920078353251 × 6371000     		du = 266.862009183562m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50754482)-sin(-0.50758671))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.873940439043774-0.873920078353251)×R²
    abs(0.38109835-0.38105042)×2.03606905225806e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.03606905225806e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.03606905225806e-05×40589641000000     		ar = 71221.2802381388m²