Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73483 / 76607
↖ ↑ ↗
← S 29.072975°
E 21.827087°		 ← 266.94 m → S 29.072975°
E 21.829834°		 →
↑
266.94 m
↓
↑
266.94 m
↓
S 29.075375°
E 21.827087°		 ← 266.94 m →
71 258 m²		 S 29.075375°
E 21.829834°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73483 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76607 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560634613037109 y=0.584468841552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560634613037109 × 217)
    floor (0.560634613037109 × 131072)
    floor (73483.5)     		tx = 73483
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.584468841552734 × 217)
    floor (0.584468841552734 × 131072)
    floor (76607.5)     		ty = 76607
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73483 / 76607 ti = "17/73483/76607"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73483/76607.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73483 ÷ 217
    73483 ÷ 131072     		x = 0.560630798339844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76607 ÷ 217
    76607 ÷ 131072     		y = 0.584465026855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560630798339844 × 2 - 1) × π
    0.121261596679688 × 3.1415926535     		Λ = 0.38095454
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.584465026855469 × 2 - 1) × π
    -0.168930053710938 × 3.1415926535     		Φ = -0.530709415693642
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38095454} λ = 0.38095454}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.530709415693642))-π/2
    2×atan(0.588187552154287)-π/2
    2×0.53168859755371-π/2
    1.06337719510742-1.57079632675     		φ = -0.50741913
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38095454} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.827087°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50741913 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.072975°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73483 KachelY 76607 0.38095454 -0.50741913 21.827087 -29.072975
    Oben rechts KachelX + 1 73484 KachelY 76607 0.38100248 -0.50741913 21.829834 -29.072975
    Unten links KachelX 73483 KachelY + 1 76608 0.38095454 -0.50746103 21.827087 -29.075375
    Unten rechts KachelX + 1 73484 KachelY + 1 76608 0.38100248 -0.50746103 21.829834 -29.075375
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50741913--0.50746103) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dl = 266.944899999542m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50741913--0.50746103) × R
    4.18999999999281e-05 × 6371000     		dr = 266.944899999542m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38095454-0.38100248) × cos(-0.50741913) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.874001521632265 × 6371000     		do = 266.942561505485m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38095454-0.38100248) × cos(-0.50746103) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.873981160683682 × 6371000     		du = 266.936342747698m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50741913)-sin(-0.50746103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.874001521632265-0.873981160683682)×R²
    abs(0.38100248-0.38095454)×2.03609485821543e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.03609485821543e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.03609485821543e-05×40589641000000     		ar = 71258.1253642687m²