Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73478 / 54027
↖ ↑ ↗
← N 30.118997°
E 21.813355°		 ← 264.13 m → N 30.118997°
E 21.816101°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 30.116622°
E 21.813355°		 ← 264.14 m →
69 770 m²		 N 30.116622°
E 21.816101°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73478 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54027 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560596466064453 y=0.412197113037109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560596466064453 × 217)
    floor (0.560596466064453 × 131072)
    floor (73478.5)     		tx = 73478
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412197113037109 × 217)
    floor (0.412197113037109 × 131072)
    floor (54027.5)     		ty = 54027
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73478 / 54027 ti = "17/73478/54027"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73478/54027.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73478 ÷ 217
    73478 ÷ 131072     		x = 0.560592651367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54027 ÷ 217
    54027 ÷ 131072     		y = 0.412193298339844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560592651367188 × 2 - 1) × π
    0.121185302734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38071486
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412193298339844 × 2 - 1) × π
    0.175613403320312 × 3.1415926535     		Φ = 0.551705777727226
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38071486} λ = 0.38071486}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551705777727226))-π/2
    2×atan(1.73621208529909)-π/2
    2×1.04823599909036-π/2
    2.09647199818072-1.57079632675     		φ = 0.52567567
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38071486} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.813355°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52567567 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.118997°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73478 KachelY 54027 0.38071486 0.52567567 21.813355 30.118997
    Oben rechts KachelX + 1 73479 KachelY 54027 0.38076279 0.52567567 21.816101 30.118997
    Unten links KachelX 73478 KachelY + 1 54028 0.38071486 0.52563421 21.813355 30.116622
    Unten rechts KachelX + 1 73479 KachelY + 1 54028 0.38076279 0.52563421 21.816101 30.116622
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52567567-0.52563421) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52567567-0.52563421) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38071486-0.38076279) × cos(0.52567567) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.864985089534701 × 6371000     		do = 264.13360286021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38071486-0.38076279) × cos(0.52563421) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.865005893318259 × 6371000     		du = 264.139955545789m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52567567)-sin(0.52563421))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864985089534701-0.865005893318259)×R²
    abs(0.38076279-0.38071486)×2.08037835577324e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.08037835577324e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.08037835577324e-05×40589641000000     		ar = 69769.5273358844m²