Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73474 / 54022
↖ ↑ ↗
← N 30.130875°
E 21.802368°		 ← 264.16 m → N 30.130875°
E 21.805115°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 30.128500°
E 21.802368°		 ← 264.16 m →
69 776 m²		 N 30.128500°
E 21.805115°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73474 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54022 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560565948486328 y=0.412158966064453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560565948486328 × 217)
    floor (0.560565948486328 × 131072)
    floor (73474.5)     		tx = 73474
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412158966064453 × 217)
    floor (0.412158966064453 × 131072)
    floor (54022.5)     		ty = 54022
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73474 / 54022 ti = "17/73474/54022"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73474/54022.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73474 ÷ 217
    73474 ÷ 131072     		x = 0.560562133789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54022 ÷ 217
    54022 ÷ 131072     		y = 0.412155151367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560562133789062 × 2 - 1) × π
    0.121124267578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.38052311
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412155151367188 × 2 - 1) × π
    0.175689697265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.551945462225327
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38052311} λ = 0.38052311}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.551945462225327))-π/2
    2×atan(1.73662827829686)-π/2
    2×1.04833965461445-π/2
    2.0966793092289-1.57079632675     		φ = 0.52588298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38052311} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.802368°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52588298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.130875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73474 KachelY 54022 0.38052311 0.52588298 21.802368 30.130875
    Oben rechts KachelX + 1 73475 KachelY 54022 0.38057105 0.52588298 21.805115 30.130875
    Unten links KachelX 73474 KachelY + 1 54023 0.38052311 0.52584152 21.802368 30.128500
    Unten rechts KachelX + 1 73475 KachelY + 1 54023 0.38057105 0.52584152 21.805115 30.128500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52588298-0.52584152) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dl = 264.14166000031m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52588298-0.52584152) × R
    4.14600000000487e-05 × 6371000     		dr = 264.14166000031m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38052311-0.38057105) × cos(0.52588298) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864881043295106 × 6371000     		do = 264.156932660512m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38052311-0.38057105) × cos(0.52584152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.864901854512916 × 6371000     		du = 264.163288942112m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52588298)-sin(0.52584152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864881043295106-0.864901854512916)×R²
    abs(0.38057105-0.38052311)×2.08112178097242e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.08112178097242e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.08112178097242e-05×40589641000000     		ar = 69775.6901829006m²