Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73473 / 77568
↖ ↑ ↗
← S 31.353637°
E 21.799621°		 ← 260.83 m → S 31.353637°
E 21.802368°		 →
↑
260.77 m
↓
↑
260.77 m
↓
S 31.355982°
E 21.799621°		 ← 260.82 m →
68 013 m²		 S 31.355982°
E 21.802368°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73473 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 77568 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560558319091797 y=0.591800689697266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560558319091797 × 217)
    floor (0.560558319091797 × 131072)
    floor (73473.5)     		tx = 73473
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.591800689697266 × 217)
    floor (0.591800689697266 × 131072)
    floor (77568.5)     		ty = 77568
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73473 / 77568 ti = "17/73473/77568"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73473/77568.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73473 ÷ 217
    73473 ÷ 131072     		x = 0.560554504394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 77568 ÷ 217
    77568 ÷ 131072     		y = 0.591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560554504394531 × 2 - 1) × π
    0.121109008789062 × 3.1415926535     		Λ = 0.38047517
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.591796875 × 2 - 1) × π
    -0.18359375 × 3.1415926535     		Φ = -0.576776776228516
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38047517} λ = 0.38047517}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.576776776228516))-π/2
    2×atan(0.561705955857573)-π/2
    2×0.511786064852429-π/2
    1.02357212970486-1.57079632675     		φ = -0.54722420
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38047517} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.799621°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54722420 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.353637°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73473 KachelY 77568 0.38047517 -0.54722420 21.799621 -31.353637
    Oben rechts KachelX + 1 73474 KachelY 77568 0.38052311 -0.54722420 21.802368 -31.353637
    Unten links KachelX 73473 KachelY + 1 77569 0.38047517 -0.54726513 21.799621 -31.355982
    Unten rechts KachelX + 1 73474 KachelY + 1 77569 0.38052311 -0.54726513 21.802368 -31.355982
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54722420--0.54726513) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dl = 260.765029999612m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54722420--0.54726513) × R
    4.09299999999391e-05 × 6371000     		dr = 260.765029999612m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38047517-0.38052311) × cos(-0.54722420) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853972111029799 × 6371000     		do = 260.825063950769m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38047517-0.38052311) × cos(-0.54726513) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.853950813666794 × 6371000     		du = 260.818559187914m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54722420)-sin(-0.54726513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.853972111029799-0.853950813666794)×R²
    abs(0.38052311-0.38047517)×2.1297363004269e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.1297363004269e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.1297363004269e-05×40589641000000     		ar = 68013.2075279143m²