Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73472 / 54020
↖ ↑ ↗
← N 30.135626°
E 21.796875°		 ← 264.09 m → N 30.135626°
E 21.799621°		 →
↑
264.14 m
↓
↑
264.14 m
↓
N 30.133251°
E 21.796875°		 ← 264.10 m →
69 758 m²		 N 30.133251°
E 21.799621°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73472 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 54020 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560550689697266 y=0.412143707275391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560550689697266 × 217)
    floor (0.560550689697266 × 131072)
    floor (73472.5)     		tx = 73472
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.412143707275391 × 217)
    floor (0.412143707275391 × 131072)
    floor (54020.5)     		ty = 54020
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73472 / 54020 ti = "17/73472/54020"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73472/54020.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73472 ÷ 217
    73472 ÷ 131072     		x = 0.560546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 54020 ÷ 217
    54020 ÷ 131072     		y = 0.412139892578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560546875 × 2 - 1) × π
    0.12109375 × 3.1415926535     		Λ = 0.38042724
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.412139892578125 × 2 - 1) × π
    0.17572021484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.552041336024567
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38042724} λ = 0.38042724}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.552041336024567))-π/2
    2×atan(1.73679478342938)-π/2
    2×1.04838111333246-π/2
    2.09676222666492-1.57079632675     		φ = 0.52596590
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38042724} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.796875°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.52596590 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 30.135626°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73472 KachelY 54020 0.38042724 0.52596590 21.796875 30.135626
    Oben rechts KachelX + 1 73473 KachelY 54020 0.38047517 0.52596590 21.799621 30.135626
    Unten links KachelX 73472 KachelY + 1 54021 0.38042724 0.52592444 21.796875 30.133251
    Unten rechts KachelX + 1 73473 KachelY + 1 54021 0.38047517 0.52592444 21.799621 30.133251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.52596590-0.52592444) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dl = 264.141659999603m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.52596590-0.52592444) × R
    4.14599999999377e-05 × 6371000     		dr = 264.141659999603m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38042724-0.38047517) × cos(0.52596590) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864839416399508 × 6371000     		do = 264.089119815625m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38042724-0.38047517) × cos(0.52592444) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.864860230590625 × 6371000     		du = 264.095475679277m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.52596590)-sin(0.52592444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.864839416399508-0.864860230590625)×R²
    abs(0.38047517-0.38042724)×2.08141911165471e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.08141911165471e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.08141911165471e-05×40589641000000     		ar = 69757.777930172m²