Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 73470 / 76543
↖ ↑ ↗
← S 28.919227°
E 21.791382°		 ← 267.34 m → S 28.919227°
E 21.794129°		 →
↑
267.33 m
↓
↑
267.33 m
↓
S 28.921631°
E 21.791382°		 ← 267.33 m →
71 466 m²		 S 28.921631°
E 21.794129°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 73470 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 76543 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.560535430908203 y=0.583980560302734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.560535430908203 × 217)
    floor (0.560535430908203 × 131072)
    floor (73470.5)     		tx = 73470
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.583980560302734 × 217)
    floor (0.583980560302734 × 131072)
    floor (76543.5)     		ty = 76543
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 73470 / 76543 ti = "17/73470/76543"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/73470/76543.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 73470 ÷ 217
    73470 ÷ 131072     		x = 0.560531616210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 76543 ÷ 217
    76543 ÷ 131072     		y = 0.583976745605469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.560531616210938 × 2 - 1) × π
    0.121063232421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.38033136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.583976745605469 × 2 - 1) × π
    -0.167953491210938 × 3.1415926535     		Φ = -0.527641454117958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.38033136} λ = 0.38033136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.527641454117958))-π/2
    2×atan(0.589994859921394)-π/2
    2×0.533030297337071-π/2
    1.06606059467414-1.57079632675     		φ = -0.50473573
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.38033136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 21.791382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.50473573 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.919227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 73470 KachelY 76543 0.38033136 -0.50473573 21.791382 -28.919227
    Oben rechts KachelX + 1 73471 KachelY 76543 0.38037930 -0.50473573 21.794129 -28.919227
    Unten links KachelX 73470 KachelY + 1 76544 0.38033136 -0.50477769 21.791382 -28.921631
    Unten rechts KachelX + 1 73471 KachelY + 1 76544 0.38037930 -0.50477769 21.794129 -28.921631
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.50473573--0.50477769) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dl = 267.327159999341m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.50473573--0.50477769) × R
    4.19599999998965e-05 × 6371000     		dr = 267.327159999341m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.38033136-0.38037930) × cos(-0.50473573) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875302299656473 × 6371000     		do = 267.339852596105m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.38033136-0.38037930) × cos(-0.50477769) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.875282008031053 × 6371000     		du = 267.333655011395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.50473573)-sin(-0.50477769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.875302299656473-0.875282008031053)×R²
    abs(0.38037930-0.38033136)×2.02916254202767e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.02916254202767e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.02916254202767e-05×40589641000000     		ar = 71466.3751682545m²