Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 7347 / 5771
↖ ↑ ↗
← N 46.875213°
W 18.566894°		 ← 1 670.16 m → N 46.875213°
W 18.544922°		 →
↑
1 670.41 m
↓
↑
1 670.41 m
↓
N 46.860191°
W 18.566894°		 ← 1 670.62 m →
2 790 240 m²		 N 46.860191°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5771 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448455810546875 y=0.352264404296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448455810546875 × 214)
    floor (0.448455810546875 × 16384)
    floor (7347.5)     		tx = 7347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.352264404296875 × 214)
    floor (0.352264404296875 × 16384)
    floor (5771.5)     		ty = 5771
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7347 / 5771 ti = "14/7347/5771"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7347/5771.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7347 ÷ 214
    7347 ÷ 16384     		x = 0.44842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5771 ÷ 214
    5771 ÷ 16384     		y = 0.35223388671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.35223388671875 × 2 - 1) × π
    0.2955322265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.928441871841248
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32405344} λ = -0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.928441871841248))-π/2
    2×atan(2.53056316249656)-π/2
    2×1.19446156906226-π/2
    2.38892313812452-1.57079632675     		φ = 0.81812681
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.81812681 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 46.875213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7347 KachelY 5771 -0.32405344 0.81812681 -18.566894 46.875213
    Oben rechts KachelX + 1 7348 KachelY 5771 -0.32366995 0.81812681 -18.544922 46.875213
    Unten links KachelX 7347 KachelY + 1 5772 -0.32405344 0.81786462 -18.566894 46.860191
    Unten rechts KachelX + 1 7348 KachelY + 1 5772 -0.32366995 0.81786462 -18.544922 46.860191
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.81812681-0.81786462) × R
    0.00026218999999994 × 6371000     		dl = 1670.41248999962m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.81812681-0.81786462) × R
    0.00026218999999994 × 6371000     		dr = 1670.41248999962m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32405344--0.32366995) × cos(0.81812681) × R
    0.000383490000000042 × 0.683589584641018 × 6371000     		do = 1670.15618348507m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32405344--0.32366995) × cos(0.81786462) × R
    0.000383490000000042 × 0.683780924871142 × 6371000     		du = 1670.62366876523m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.81812681)-sin(0.81786462))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.683589584641018-0.683780924871142)×R²
    abs(-0.32366995--0.32405344)×0.000191340230123904×R²
    0.000383490000000042×0.000191340230123904×6371000²
    0.000383490000000042×0.000191340230123904×40589641000000     		ar = 2790240.21175194m²