Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 7347 / 4469
↖ ↑ ↗
← N 63.025074°
W 18.566894°		 ← 1 108.24 m → N 63.025074°
W 18.544922°		 →
↑
1 108.49 m
↓
↑
1 108.49 m
↓
N 63.015106°
W 18.566894°		 ← 1 108.62 m →
1 228 687 m²		 N 63.015106°
W 18.544922°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 7347 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.448455810546875 y=0.272796630859375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.448455810546875 × 214)
    floor (0.448455810546875 × 16384)
    floor (7347.5)     		tx = 7347
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.272796630859375 × 214)
    floor (0.272796630859375 × 16384)
    floor (4469.5)     		ty = 4469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 7347 / 4469 ti = "14/7347/4469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/7347/4469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 7347 ÷ 214
    7347 ÷ 16384     		x = 0.44842529296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4469 ÷ 214
    4469 ÷ 16384     		y = 0.27276611328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.44842529296875 × 2 - 1) × π
    -0.1031494140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.32405344
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27276611328125 × 2 - 1) × π
    0.4544677734375 × 3.1415926535     		Φ = 1.42775261828375
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.32405344} λ = -0.32405344}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.42775261828375))-π/2
    2×atan(4.16931860459008)-π/2
    2×1.33539569152835-π/2
    2.6707913830567-1.57079632675     		φ = 1.09999506
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.32405344} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -18.566894°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.09999506 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 63.025074°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 7347 KachelY 4469 -0.32405344 1.09999506 -18.566894 63.025074
    Oben rechts KachelX + 1 7348 KachelY 4469 -0.32366995 1.09999506 -18.544922 63.025074
    Unten links KachelX 7347 KachelY + 1 4470 -0.32405344 1.09982107 -18.566894 63.015106
    Unten rechts KachelX + 1 7348 KachelY + 1 4470 -0.32366995 1.09982107 -18.544922 63.015106
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.09999506-1.09982107) × R
    0.000173989999999957 × 6371000     		dl = 1108.49028999973m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.09999506-1.09982107) × R
    0.000173989999999957 × 6371000     		dr = 1108.49028999973m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.32405344--0.32366995) × cos(1.09999506) × R
    0.000383490000000042 × 0.453600523984401 × 6371000     		do = 1108.24350895056m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.32405344--0.32366995) × cos(1.09982107) × R
    0.000383490000000042 × 0.453755577896508 × 6371000     		du = 1108.62233896187m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.09999506)-sin(1.09982107))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.453600523984401-0.453755577896508)×R²
    abs(-0.32366995--0.32405344)×0.000155053912106629×R²
    0.000383490000000042×0.000155053912106629×6371000²
    0.000383490000000042×0.000155053912106629×40589641000000     		ar = 1228687.13641996m²